Homomorfizmus magja

1. Sablon:Label Egy A algebrai struktúrán értelmezett $\phi$ homomorfizmus ekvivalenciarelációt definiál a struktúra elemei között: $a\sim b$, ha $\phi (a)=\phi (b)$. Ezt az ekvivalenciarelációt a homomorfizmus magjának (kernelének) nevezzük, és $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\phi$-vel jelöljük. Minden homomorfizmust meghatároz a magja. Tekintsük azt a $\psi$ hozzárendelést, ami A minden elemeihez az őt tartalmazó ekvivalenciaosztályt rendeli, és az ekvivalenciaosztályokon úgy definiáljuk a relációkat, hogy ez a hozzárendelés homomorfizmus legyen, akkor az így definiált struktúrát a kernel által generált faktorstruktúrának nevezzük, amit $A^{}{/}_{\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\phi }$ szimbólummal jelölünk. Ekkor könnyen ellenőrizhetően $\phi {\psi }^{-1}$ izomorfizmus, tehát a homomorfizmus magja által generált faktorcsoport izomorf a homomorfizmus képével. Ez a homomorfizmustétel:

   $A^{}{/}_{\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\phi }\cong \mathrm{I}\mathrm{m}\phi$.

   Csoportokban, gyűrűkben, vektorterekben hagyományosan az egységelem illetve nullelem ősképét nevezzük a homomorfizmus magjának. De ez egyértelműen meghatározza az absztraktabb értelemben vett kernelt, lévén az $a\sim b$, ha létezik e eleme a magnak, hogy $ae=b$ (csoportoknál) ekvivalenciareláció éppen a kernel. Ezek mindig részcsoportot illetve részgyűrűt alkotnak:

   • csoport olyan részcsoportját, ami homomorfizmus magja lehet, normálosztónak nevezzük, Abel-csoport minden részcsoportja normálosztó.
   • gyűrű olyan részgyűrűjét, ami homomorfizmus magja lehet, ideálnak nevezzük. Testeknek csak két triviális ideálja van, a nullelem és a teljes test, így minden nemtriviális testhomomorfizmus automorfizmus.
   • vektortér minden altere lehet lineáris leképezés magja. A lineáris algebrában a homomorfizmustétel következménye a dimenziótétel.

• Sablon:En: Sablon:T