Bonferroni-egyenlőtlenségek

Sablon:Humatek A Bonferroni egyenlőtlenségek a valószínűségelméletben és a statisztikában alkalmazott egyenlőtlenségek, amelyek a több esemény egyesülésének valószínűségét korlátozzák. Ezek az egyenlőtlenségek különösen hasznosak több hipotézis tesztelése során, amikor az eredmények megbízhatóságát kell értékelni.

Bonferroni Egyenlőtlenségek

Legyen $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ egy véges eseménygyűjtemény. A Bonferroni egyenlőtlenségek a következő formákban állnak:

1. Felső határ: $P (⋃_{i = 1}^{n} A_{i}) \leq \sum_{i = 1}^{n} P (A_{i})$ Ez azt jelenti, hogy legalább az egyik esemény bekövetkezésének valószínűsége nem haladhatja meg az egyes események valószínűségeinek összegét.

2. Alsó határ: $P (⋃_{i = 1}^{n} A_{i}) \geq \sum_{i = 1}^{n} P (A_{i}) - \sum_{1 \leq i < j \leq n} P (A_{i} \cap A_{j})$ Ez az egyenlőtlenség figyelembe veszi a dupla számítást, és levonja az események metszeteinek valószínűségeit.

3. Általános forma: A $k$ -adik Bonferroni egyenlőség a következőképpen általánosítható: $P (⋃_{i = 1}^{n} A_{i}) \geq \sum_{i = 1}^{k} (- 1)^{i - 1} (\binom{k}{i}) \sum_{1 \leq j_{1} < j_{2} < \dots < j_{i} \leq n} P (A_{j_{1}} \cap A_{j_{2}} \cap \dots \cap A_{j_{i}})$ Ez a képlet lehetővé teszi a több esemény egyesülésének valószínűségének pontosabb becslését, figyelembe véve a metszeteket is.

Értelmezések

- Felső határ: Az események uniójának valószínűsége legfeljebb az egyes események valószínűségeinek összegével egyenlő. - Alsó határ: A metszetek levonásával korlátozhatjuk a valószínűséget, figyelembe véve, hogy az események nem függetlenek egymástól.

Alkalmazások

1. Több hipotézis tesztelése: A Bonferroni korrekciót gyakran alkalmazzák a családra vonatkozó hibaarány ellenőrzésére, amikor több statisztikai tesztet végeznek. 2. Kockázatelemzés: A pénzügyi és mérnöki területeken a Bonferroni egyenlőtlenségek segíthetnek a különböző kockázatok együttes előfordulásának valószínűségének meghatározásában.

Példa

Tegyük fel, hogy három esemény $A_{1}, A_{2},$ és $A_{3}$ valószínűségét szeretnénk vizsgálni:

1. Felső határ: $P (A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}) \leq P (A_{1}) + P (A_{2}) + P (A_{3})$

2. Alsó határ: $P (A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}) \geq P (A_{1}) + P (A_{2}) + P (A_{3}) - (P (A_{1} \cap A_{2}) + P (A_{1} \cap A_{3}) + P (A_{2} \cap A_{3}))$

Ezek az egyenlőtlenségek segítenek a valószínűségek megértésében és a kockázatok kezelésében, különösen, ha a függetlenség nem biztosított. Sablon:Hunl

Bonferroni-egyenlőtlenségek

Navigációs menü

Keresés