Lineáris algebra

1. Sablon:Label A lineáris algebra a matematika (konkrétan az algebra) egyik tudományága, mely jelentős geometriai, fizikai és mérnöki alkalmazásokkal rendelkezik (sőt, születtek próbálkozások még a társadalomtudományokban való alkalmazására is (pl.: a modern közgazdaságtudomány elképzelhetetlen lenne lineáris algebra nélkül). Tárgya a vektorok, vektorterek vagy lineáris terek, és lineáris leképezések (a vektorterek homomorfizmusainak) vizsgálata.

---

A lineáris algebra a matematika egy ága, amely vektorokkal, vektorterekkel, mátrixokkal és lineáris transzformációkkal foglalkozik. Kulcsszerepet játszik a tudomány, a mérnöki tudományok, a gazdaságtan és sok más területen.

Alapfogalmak

Vektorok

A vektor egy olyan matematikai objektum, amelyet általában nagysággal és iránnyal jellemeznek. Algebrai szempontból a vektor egy n-dimenziós valósz vagy komplex számokkal rendelkezo rendezett halmaz:

$𝐯=(v_1,v_2,\dots ,v_n)$

Vektorterek

A vektortér egy olyan halmaz, amelyben a vektorok összeadása és skalárral való szorzása van értelmezve, és ezek kielégítik az alábbi axiomákat:

• Kommutativitás: $𝐮+𝐯=𝐯+𝐮$
• Asszociativitás: $(𝐮+𝐯)+𝐰=𝐮+(𝐯+𝐰)$
• Nullvektor létezése: Létezik olyan $\mathrm{𝟎}$, hogy $𝐯+\mathrm{𝟎}=𝐯$
• Invertálhatóság: Létezik olyan $-𝐯$, hogy $𝐯+(-𝐯)=\mathrm{𝟎}$
• Skaláris szorzás disztributivitása: $a(𝐮+𝐯)=a𝐮+a𝐯$

Mátrixok

A mátrix egy olyan téglalap alakú számelrendezés, amely sorokból és oszlopokból áll:

$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$

A mátrixokat gyakran használják lineáris egyenletrendszerek megoldására és lineáris transzformációk reprezentálására.

Lineáris transzformációk

A lineáris transzformáció egy olyan leképezés, amely kielégíti az alábbi tulajdonságokat:

• Additivitás: $T(𝐮+𝐯)=T(𝐮)+T(𝐯)$
• Homogenitás: $T(a𝐯)=aT(𝐯)$

Fontos tételek

Gauss-elimináció

A Gauss-elimináció módszere a lineáris egyenletrendszerek megoldására szolgál. A lépései: 1. Az egyenletrendszert mátrix formába írjuk. 2. Sorműveletekkel felső háromszög alakú mátrixot kapunk. 3. Visszahelyettesítéssel meghatározzuk az ismeretleneket.

Determináns

A determináns egy négyzetes mátrixhoz rendelt szám, amelynek fontos szerepe van a mátrix invertálhatóságának eldöntésében. Egy 2x2-es mátrix esetén:

$\det \left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]=ad-bc$

Eigenértékek és eigenvektorok

Egy mátrix eigenértékei és eigenvektorai olyan $\lambda$ és $𝐯$, amelyek kielégítik az alábbi egyenletet:

$A𝐯=\lambda 𝐯$

Alkalmazások

• Fizika: pl. kvantummechanika (Schrödinger-egyenlet).
• Gépi tanulás: adathalmazok feldolgozása, főkomponens-analízis (PCA).
• Számítástechnika: 3D grafika és transzformációk.
• Gazdaságtan: input-output modellek elemzése.

• Sablon:En: Sablon:T
• Sablon:Fr: Sablon:T
• Sablon:De: Sablon:T
• Sablon:Ru: Sablon:T
• Sablon:Ro: Sablon:T