Momentum

1. Sablon:Label A valószínűségszámításban egy valószínűségi változó momentumai több, a változó eloszlását jellemző számértéket is takarnak. Általánosan az X valószínűségi változó k-adik momentuma bármely k pozitív egész szám esetén az E(X^k) által felvett értékként határozható meg (feltéve, hogy ez az érték létezik), ahol E(X) az X várható értékét jelöli.

Az X valószínűségi változó k-adik momentumának jelölését tekintve a szakirodalom nem egységes. Sok esetben – a várható értéktől, szórástól, ferdeségtől vagy lapultságtól eltérően – nem szoktak külön jelölést bevezetni, hanem kiírják az E(X^k)-t. Találkozhatunk helyenként a μ_k = E(X^k) jelöléssel, más könyvekben viszont a μ_k a centrális momentumot jelöli.

Az eloszlásfüggvényt momentumainak sorozata meghatározza, amennyiben a momentumgeneráló függvény konvergens. Az előre megadott momentumokkal bíró eloszlás meghatározása a momentumprobléma, ami fontos a technikai mechanikában.

Vannak eloszlások, amelyeknek csak véges sok momentuma létezik. Ide tartoznak a t-eloszlások, amelyeknek csak olyan rendű momentumai vannak, amelyek kisebbek a szabadsági fokánál. Speciálisan, a Cauchy-eloszlás esetén már első momentum, a várható érték sincs; ugyanez a helyzet a Lévy-eloszlással.

Definíció

Legyen $X$ valószínűségi változó, és $k$ természetes szám. Ekkor $X$ $k$-adrendű momentuma vagy $k$-adik momentuma $X$ $k$‑-adik hatványának várható értéke, feltéve, hogy az létezik:

$m_k:=\mathrm{E}\left(X^k\right),$

$X$ $k$-adik abszolút momentuma az $|X|$ abszolútérték $k$-adik hatványának várható értéke:

$M_k:=\mathrm{E}\left({\left|X\right|}^k\right).$

Elméleti vizsgálatokban a $k$ nem feltétlenül egész, ilyenkor $\kappa$-val jelölik. Bizonyos rendű momentumok létezése az egész eloszlást jellemzi általánosan. Az első momentum a várható érték. Gyakori jelölése: $\mu$, és az eloszlás középértékének tekinthető.

Valós valószínűségi változó momentumai

Legyen $X$ az $(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },P)$ valószínűségi mezőn értelmezve és eloszlásfüggvénye $F_X(x)=P(X\le x)$. Ekkor a momentumok kifejezhetők Stieltjes-integrállal a várható érték definíciója alapján:

$m_k=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^k\mathrm{d}{F}_X(x)$.

Ha $X$ abszolút folytonos valószínűségi változó, és sűrűségfüggvénye $f_X$, akkor:

$m_k=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^k{f}_X(x)\mathrm{d}x$,

Diszkrét valószínűségi változó esetén, aminek értékei $x_i$ és valószínűségei $p_i=P(X=x_i)$:

$m_k=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_i^k\cdot p_i$.

A $P$ valószínégi mérték szerinti Lebesgue-integrállal ezek egységesen:

$m_k=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{X}^k\mathrm{d}P$.

Centrális momentumok

A fent definiált momentumok mellett centrális momentumokat is értelmeznek, amelyek figyelembe veszik a várható értéket is.

${\mu }_k:=\mathrm{E}\left({(X-\mu )}^k\right)$

és

${\overline{\mu }}_k:=\mathrm{E}\left({|X-\mu |}^k\right).$

Az első abszolút centrális momentum a standard abszolút eltérés:

${\overline{\mu }}_1:=\mathrm{E}\left(|X-\mu |\right).$

A második centrális momentum a szórásnégyzet:

${\mu }_2=\mathrm{E}\left({(X-\mu )}^2\right)$

A harmadikból és a negyedikből számítják a ferdeséget és a lapultságot. A ferdeség a szimmetrikustól való eltérést, a lapultság az eloszlás alakját jellemzi. Magasabb momentumoknak is nevezik őket.

Momentumok, karakterisztikus függvény és kumulánsok

A karakterisztikus függvény képletének többszörös deriválásával kifejezhetjük a közönséges momentumokat a karakterisztikus függvénnyel

$\mathrm{E}(X^k)=\frac{{\phi }_X^{(k)}(0)}{i^k}(k=1,2,\dots )$

A momentumgeneráló függvényből is megkaphatók a momentumok. A $k$-adik momentum kifejezhető az első $k$ kumuláns ${\kappa }_1,\dots ,{\kappa }_k$ polinomjaként. Ez éppen a $B_k$ $k$-adik teljes Bell-polinom:

$m_k=B_k({\kappa }_1,\dots ,{\kappa }_k)$.

Markov-egyenlőtlenség

A momentumok jelentőségét a Markov-egyenlőtlenség világítja meg:

Ha az $X$ valószínűségi változónak létezik a $k$-adik $M_k$ abszolút momentuma, akkor

$P(|X|\ge x)\le \frac{M_k}{x^k}$,

ami a nagy abszolút értékű értékekről tesz kijelentést. Speciálisan, ha $k=2$, akkor a becslés a szórásnégyzetről szól:

$P(|X-\mathrm{E}(X)|\ge x)\le \frac{{\sigma }^2}{x^2}$,

a Csebisev-egyenlőtlenség, ami a nagy eltéréseket becsli.

Közös momentumok

A momentum fogalma kiterjeszthető több valószínűségi változó esetére. Ha $X$ és $Y$ valószínűségi változó, akkor közös momentumaik

$m_{k\ell }=\mathrm{E}\left(X^k{Y}^{\ell }\right)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^k{y}^{\ell }{f}_{XY}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

ahol $f_{XY}$ közös sűrűségfüggvény.

A centrális közös momentumok hasonlóan definiálhatók:

${\mu }_{k\ell }=\mathrm{E}((X-\mathrm{E}(X){)}^k(Y-\mathrm{E}(Y){)}^{\ell })$.

Ahol ${\mu }_{11}$ az $X$ és $Y$ kovarianciája.

Számítás

A momentumok számításához a first-order second-moment eljárás ad közelítő eredményt.

További momentumok

A valószínűségszámításban és a matematikai statisztikában más momentumok is előfordulnak, ezek közül a legfontosabbak:

• abszolút momentum
• centrális momentum
• abszolút centrális momentum
• faktoriális momentum

A momentum speciális esete a kezdeti momentum, melyet a centrális momentum definiálása kapcsán szoktak bevezetni.