Lebesgue-integrál

1. Sablon:Humatek A Lebesgue-integrál a matematikai analízis egyik alapvető fogalma, amely lehetővé teszi a tágabb értelemben vett integrálást, mint a Riemann-integrál. A Lebesgue-integrál célja, hogy kiterjessze az integrálást olyan funkciókra is, amelyek nem integrálhatók a Riemann-értelmezés szerint.

Főbb jellemzők

1. Mérés: A Lebesgue-integrál alapja a mértékelmélet, amely a halmazok "méretének" (mérhető halmazok) fogalmát vezeti be. A mérték fogalmával a Lebesgue-integrál a halmazokra és a függvényekre épít.

2. Integrálható függvények: Egy valós függvény $f:ℝ\to ℝ$ Lebesgue-integrálható, ha az abszolút értékének integrálja véges: $$\int |f|d\mu <\mathrm{\infty }.$$

3. Lebesgue-integrál definíciója: Ha $f$ Lebesgue-integrálható, a Lebesgue-integrálja $a$ és $b$ között a következőképpen definiálható: $$\underset{a}{\overset{b}{\int }}fd\mu =\int f(x)dx.$$

4. Monotonitás: Ha $f\le g$ szinte mindenhol, akkor $\int fd\mu \le \int gd\mu$.

5. Dominált konvergencia tétele: Ha $f_n$ egy sorozat, amely szinte mindenhol konvergál $f$-hez, és létezik egy integrálható $g$, amely dominálja $|f_n|$-t, akkor: $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\int f_{n}d\mu =\int fd\mu .$$

Alkalmazások A Lebesgue-integrál széleskörűen alkalmazható a valószínűségelméletben, a funkcionálanalízisben és más matematikai területeken. A Lebesgue-féle mérték és integrál elmélete különösen fontos a statisztikában és a véletlen folyamatokban. Sablon:Hunl