Kovariancia

1. Sablon:Label A kovariancia a valószínűségszámítás és a statisztika tárgykörébe tartozó mennyiség, ami megadja két egymástól különböző változó együttmozgását. Kis értékei gyenge, nagy értékei erős lineáris összefüggésre utalnak. Nem normált; normálással a korrelációt kapjuk.

Definíció

Létezésének szükséges feltétele, hogy létezzen mindkét véletlen valószínűségi változó, továbbá szorzatuk várható értéke. Ez biztosan teljesül, ha $X$ és $Y$ négyzetesen integrálható, azaz $\mathrm{E}(|X{|}^2)<\mathrm{\infty }$ és $\mathrm{E}(|Y{|}^2)<\mathrm{\infty }$. Értéke $\mathrm{Cov}(X,Y)=\mathrm{E}\left((X-\mathrm{E}(X))(Y-\mathrm{E}(Y))\right)$, ahol E az úgynevezett várhatóérték-operátor.

Folytonos és diszkrét valószínűségi változók kovarianciája:

$\mathrm{Cov}(X,Y)=\{\begin{array}{cc}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}f(x_i,y_j)(x_i-\mathrm{E}(X))(y_j-\mathrm{E}(Y))& \text{ha X és Y diszkrét}\\ \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x,y)(x-\mathrm{E}(X))(y-\mathrm{E}(Y))\mathrm{d}x\mathrm{d}y& \text{ha X és Y folytonos}\end{array}$.

Az n elemű $𝐱\text{ és }𝐲$ statisztikai minta tapasztalati (empirikus) kovarianciáját az alábbi képlettel adjuk meg:

$\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{n-1}$ , ahol $x_i$ az $\mathbf{\text{x}}$, $y_i$ az $\mathbf{\text{y}}$ minta $i$. eleme, $\overline{x}$ és $\overline{y}$ pedig az $𝐱$ és az $𝐲$ minták mintaátlagai. (Ugyanez a képlet átalakítható az $\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i-\frac{n}{n-1}\overline{x}\overline{y}$ formára)

• Sablon:En: Sablon:T