Cauchy-eloszlás

1. Sablon:Mat A Cauchy-eloszlás egy folytonos valószínűségi eloszlás, amelyet a statisztikában és a valószínűségszámításban gyakran használnak. Különleges jellemzője, hogy a várható értéke és a szórása nem léteznek, ezért a Cauchy-eloszlás nem alkalmazható a klasszikus statisztikai eljárásokban, amelyek a középértékekre és szórásokra támaszkodnak.

Definíció

A Cauchy-eloszlás sűrűségfüggvénye a következő formában van megadva:

$$f(x;x_0,\gamma )=\frac{1}{\pi \gamma (1+{\left(\frac{x-x_0}{\gamma }\right)}^2)}$$

Ahol: - $x_0$ a hely paraméter (a csúcs helye), - $\gamma$ a skála paraméter (a csúcs szélessége).

Jellemzők

1. Sűrűségfüggvény: A Cauchy-eloszlás sűrűségfüggvénye szimmetrikus a $x_0$ körül, és csúcsos formát mutat, ami azt jelenti, hogy a valószínűség sűrűsége a középpont körül a legmagasabb.

2. Várható Érték és Szórás: - A Cauchy-eloszlás esetén a várható érték és a szórás nem definiált, mivel a sűrűségfüggvény integrálja nem konvergál. Ezért nem lehet hagyományos értelemben statisztikai középértéket számítani.

3. Eloszlás Függvény: A Cauchy-eloszlás eloszlásfüggvénye:

$$F(x;x_0,\gamma )=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }{\tan }^{-1}\left(\frac{x-x_0}{\gamma }\right)$$

4. Jellemző Funkció: A Cauchy-eloszlás jellemző funkciója sem létezik, mivel a szórás nem véges.

Példa

Ha $x_0=0$ és $\gamma =1$ a Cauchy-eloszlásra, akkor a sűrűségfüggvény a következőképpen alakul:

$$f(x)=\frac{1}{\pi (1+x^2)}$$

Ez a sűrűségfüggvény a standard Cauchy-eloszlást írja le.

Alkalmazások

- Statisztikai Elmélet: A Cauchy-eloszlás a statisztikai elméletben fontos szerepet játszik, különösen a robusztus statisztikában, mivel a klasszikus módszerek, amelyek a középértékekre támaszkodnak, nem működnek jól. - Fizika és Mérnöki Tudományok: A Cauchy-eloszlás különböző fizikai és mérnöki problémák modellezésére is alkalmazható, például a hullámterjedés, rezonancia jelenségek és más statisztikai minták esetén.

Összegzés

A Cauchy-eloszlás egy különleges eloszlás, amely nem rendelkezik hagyományos várható értékkel és szórással. Különös tulajdonságai miatt a Cauchy-eloszlás fontos eszköz a robusztus statisztikák és a különböző modellek elemzésében.

• Sablon:En: Sablon:T
• Sablon:Cs: Sablon:T

• Breit–Wigner eloszlás
• Breit–Wigner formula
• Lorentz-görbe