Peremeloszlás

1. Sablon:Label

A valószínűségszámításban és statisztikában a peremeloszlások több valószínűségi változó közös eloszlásának, illetve valószínűségi vektorváltozók eloszlásának jellemzői. Jellemzőjük, hogy csak néhány valószínűségi változót, illetve koordinátáját veszi tekintetbe. Például, ha $X$ és $Y$ közös eloszlásáról van szó, $X$ és $Y$ eloszlása ennek peremeloszlásai.

Megkülönböztetik diszkrét és folytonos valószínűségi változók peremeloszlásait:

• Diszkrét peremeloszlások
• Folytonos peremeloszlások

Peremeloszlásokat lehet abszolút illetve relatív gyakoriságokra is képezni. A peremeloszlás gyakoriságai a peremgyakoriságok. Kategorikus változók esetén a kontingenciatábla pereméről olvashatók le.

---

A peremeloszlás (angolul: marginal distribution) a többdimenziós valószínűségi változók egyes komponenseinek eloszlását mutatja, függetlenül a többi változótól. Ez tulajdonképpen a többdimenziós eloszlás „peremén” található, innen a neve.

Példa:

Tegyük fel, hogy van egy kétdimenziós diszkrét eloszlásunk, ahol $X$ és $Y$ változókat vizsgálunk, és az alábbi táblázatot kaptuk:

$X\setminus Y$	$y_1$	$y_2$	$y_3$	Összeg ($P(X=x_i)$)
$x_1$	0.1	0.2	0.1	0.4
$x_2$	0.1	0.1	0.1	0.3
$x_3$	0.05	0.1	0.15	0.3
Összeg ($P(Y=y_j)$)	0.25	0.4	0.35	1.0

Hogyan számítjuk ki a peremeloszlást?

1. $P(X=x_i)$ kiszámítása:
   • Ez $X$ eloszlása, függetlenül $Y$-tól. Az adott sorban található valószínűségeket összeadjuk:
2. $P(X=x_1)=0.1+0.2+0.1=0.4$
3. Hasonlóan:
4. $P(X=x_2)=0.1+0.1+0.1=0.3,P(X=x_3)=0.05+0.1+0.15=0.3$
5. $P(Y=y_j)$ kiszámítása:
   • Ez $Y$ eloszlása, függetlenül $X$-től. Az adott oszlopban található valószínűségeket összeadjuk:
6. $P(Y=y_1)=0.1+0.1+0.05=0.25$
7. Hasonlóan:
8. $P(Y=y_2)=0.2+0.1+0.1=0.4,P(Y=y_3)=0.1+0.1+0.15=0.35$

Mit jelent ez?

• $P(X=x_i)$: Az $X$ változó lehetséges értékeinek valószínűsége, figyelmen kívül hagyva $Y$-t.
• $P(Y=y_j)$: Az $Y$ változó lehetséges értékeinek valószínűsége, figyelmen kívül hagyva $X$-et.

Miért fontos?

• A peremeloszlás segítségével a többdimenziós eloszlás egy-egy dimenzióját külön vizsgálhatjuk.
• Például, ha $X$ az emberek magassága, $Y$ pedig a testsúlyuk, akkor $P(X=x)$ megmutatja a magasságok eloszlását anélkül, hogy figyelembe vennénk a testsúlyt.

Sablon:Hunl