Riemann-integrál

1. Sablon:Matematika

Riemann definíciója

Az integrál jellemzői az integrálandó f(x) függvény és az [a,b] intervallum, amin integrálunk. Az a-t az integrál alsó határának, a b-t az integrál felső határának nevezzük.

Osszuk fel az intervallumot n részre valamilyen $F_n=\{x_0,x_1,x_2,\dots ,x_n\}$ halmazzal, ahol $a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$. Ezt az F_n halmazt az [a,b] intervallum egy felosztásának nevezzük. A felosztás finomságának nevezzük a felosztás leghosszabb részintervallumának a hosszát. Ennek a jele legyen: $d(F_n)$

Mindegyik [x_i-1, x_i] részintervallumból (1 ≤ i ≤ n) válasszunk ki tetszőlegesen egy ξ_i elemet.

Állítsunk f(ξ_i) magasságú téglalapokat a részintervallumokra, majd összegezzük ezek területét, így megkapjuk az adott felosztással adódó területet, amit közelítő összegnek nevezünk:

$\sigma (F_n)=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1})$

Ezt a $\mathrm{\Delta }{x}_i=(x_i-x_{i-1})$ jelöléssel a következőképp is felírhatjuk:

$\sigma (F_n)=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i=f({\xi }_1)\mathrm{\Delta }{x}_1+f({\xi }_2)\mathrm{\Delta }{x}_2+\cdots +f({\xi }_n)\mathrm{\Delta }{x}_n$

A felosztásokból az intervallumok számának növelésével készíthetünk végtelen sorozatokat: $\{F_n\}=F_1,F_2,F_3,F_4,\dots$. Ezeket nevezzük felosztássorozatoknak. Ha egy olyan felosztássorozatot veszünk, melyre a $\{d(F_n)\}=d(F_1),d(F_2),\dots$ sorozat a nullához tart, akkor a felosztássorozatot normális felosztássorozatnak vagy minden határon túl finomodó felosztássorozatnak nevezzük.

Ha a közelítő összegek sorozata minden normális felosztássorozat esetén konvergens, akkor azt mondjuk, hogy a függvény Riemann-integrálható az [a,b] intervallumon, és a határértékét a függvény Riemann-integráljának nevezzük. Jele: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ vagy röviden: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f$.

$d(F_n)\to 0\Rightarrow \sigma (F_n)\to \underset{a}{\overset{b}{\int }}f$

Összefoglalva:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\cdot (x_i-x_{i-1})$

ahol

$a=x_0<x_1<\cdots <x_{n-1}<x_n=b$

$x_{i-1}\le {\xi }_i\le x_i$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\max \{x_i-x_{i-1}|1\le i\le n\}=0$

Bebizonyítható, hogy minden szakaszosan folytonos függvény Riemann-integrálható. Sablon:-ford-

• Sablon:En: Sablon:T
• Sablon:Fr: Sablon:T+
• Sablon:De: Sablon:T
• Sablon:Ru: Sablon:T