Kvadratikus reciprocitás tétele

1. Sablon:Label A kvadratikus reciprocitás tétele a matematika számelmélet nevű ágának egy nevezetes tétele; miszerint

Tételezzük fel, hogy p és q különböző páratlan prímek. Ha legalább az egyikük az 1 maradékot adja 4-gyel osztva, akkor az

${𝐱}^2\equiv p(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}q)$

és az

${𝐲}^2\equiv q(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

kongruenciák egyszerre megoldhatóak vagy megoldhatatlanok (az x és y megoldások nem szükségképp azonosak); továbbá, ha mindkét prím a 3 maradékot adja 4-gyel osztva, akkor viszont a fenti kongruenciáknak pontosan egyike oldható meg.

A tétel a moduláris számelmélet egyik alapvető, a másodfokú kongruenciákat megoldások szempontjából jellemző tétele, és alapja az ilyeneket megtaláló eljárásoknak. Tömörebb megfogalmazása a Legendre-szimbólumok segítségével lehetséges.

Először Euler fogalmazta meg 1744-ben, majd Legendre 1785-ben bizonyítást is adott, ami azonban számos ponton hiányos, sőt rossz volt. Ezekről a kutatásokról nem tudva, 1795 májusában Gauss is felfedezte, és egyéves megfeszített munka után bizonyítania is sikerült, 1796. április 8-án. E bizonyítást a Disquisitiones Arithmeticae c. művében publikálta. A tételt egyébként ő Arany Tételnek (Theorema Aurea) nevezte, mert élete egyik legfontosabb felfedezésének tartotta.