Improprius integrál konvergenciája

1. Sablon:Label Az improprius integrálok (nem megfelelő integrálok) olyan integrálok, amelyeknél az integrálási tartomány végtelen vagy az integrálandó függvénynek van végtelen szakítópontja az intervallumon belül. Az ilyen integrálok konvergenciája azon múlik, hogy a határérték, amit az integrál során számolunk, létezik-e és véges-e.

Improprius integrálok típusai

1. Végtelen intervallumon vett integrálok: Ha az integrálás tartománya végtelen, például ${\int }_a^{\mathrm{\infty }}f(x)dx$, akkor ezt a következő határérték segítségével definiáljuk: $$\underset{b\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$$ Az integrál konvergens, ha ez a határérték létezik és véges.

2. Szakítópont a tartományon belül: Ha az integrálandó függvény egy pontban végtelenné válik (például ${\int }_a^{b}f(x)dx$, ahol $f(x)$ végtelenné válik $c\in (a,b)$ pontban), akkor az integrált így definiáljuk: $$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{ϵ\to 0^{+}}{\lim }(\underset{a}{\overset{c-ϵ}{\int }}f(x)dx+\underset{c+ϵ}{\overset{b}{\int }}f(x)dx)$$ Az integrál akkor konvergens, ha ez a határérték létezik és véges.

Konvergencia tesztek

Az improprius integrálok konvergenciájának megállapításához több teszt is létezik:

1. Összehasonlítási teszt: Ha $0\le f(x)\le g(x)$ minden $x\ge a$-ra, és ${\int }_a^{\mathrm{\infty }}g(x)dx$ konvergens, akkor ${\int }_a^{\mathrm{\infty }}f(x)dx$ is konvergens. Ha viszont ${\int }_a^{\mathrm{\infty }}f(x)dx$ divergens, akkor ${\int }_a^{\mathrm{\infty }}g(x)dx$ is divergens.

2. Határérték-összehasonlítási teszt: Ha $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=L$, ahol $L>0$, és ${\int }_a^{\mathrm{\infty }}g(x)dx$ konvergens vagy divergens, akkor ${\int }_a^{\mathrm{\infty }}f(x)dx$ ugyanolyan viselkedést mutat, mint ${\int }_a^{\mathrm{\infty }}g(x)dx$.

3. p-teszt: Az ${\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^p}dx$ típusú integrál akkor és csak akkor konvergens ha $p>1$.

4. Abszolút konvergencia: Az improprius integrál ${\int }_a^{\mathrm{\infty }}f(x)dx$ akkor abszolút konvergens, ha ${\int }_a^{\mathrm{\infty }}|f(x)|dx$ konvergens. Ha az integrál abszolút konvergens, akkor feltételesen is konvergens.

Ezen módszerek segítségével megállapítható, hogy egy improprius integrál konvergens-e vagy divergens, az integrálandó függvény viselkedésétől és az integrálási tartománytól függően.