Improprius integrál

1. Sablon:Label Az improprius integrál (vagy más néven nem megfelelő integrál) olyan integrál, amelynek egyik vagy mindkét határa végtelen, vagy amelynél az integrálás során az integrandus egy vagy több ponton végtelen értéket vesz fel. Az ilyen integrálok értelmezéséhez speciális technikákra van szükség, mivel a hagyományos integrálási módszerek nem alkalmazhatók.

Típusai

1. Végtelen határok: - Az integrál egyik határa végtelen. Például: $$I=\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx,$$ ahol $a$ egy véges szám.

2. Végtelen integrandus: - Az integrandus értéke egy vagy több ponton végtelen. Például: $$I=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx,$$ ahol $f(x)$ végtelen egy $c$ pontban a $[a,b]$ intervallumon belül.

Értelmezés

Az improprius integrálok értelmezése általában határértékek segítségével történik.

1. 1. Végtelen határok esetén: Az integrál értelmezéséhez határértékeket kell bevezetni: $$I=\underset{b\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx.$$

1. 2. Végtelen integrandus esetén: Ha az integrandus végtelen egy $c$ pontban, akkor az integrál értelmezése: $$I=\underset{b\to c^{-}}{\lim }\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx+\underset{b\to c^{+}}{\lim }\underset{c}{\overset{b}{\int }}f(x)dx.$$

Példák

1. Végtelen határok: - Az alábbi integrál, amely a $\frac{1}{x^2}$ függvény integrálását tartalmazza, improprius integrálnak számít: $$I=\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{x^2}dx.$$ A megoldás: $$I=\underset{b\to \mathrm{\infty }}{\lim }{[-\frac{1}{x}]}_1^b=\underset{b\to \mathrm{\infty }}{\lim }(-\frac{1}{b}+1)=1.$$

2. Végtelen integrandus: - A következő integrál is improprius: $$I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{x}dx.$$ Ezt a következőképpen lehet értelmezni: $$I=\underset{b\to 0^{+}}{\lim }\underset{b}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{x}dx=\underset{b\to 0^{+}}{\lim }[\ln (x){]}_b^1=\underset{b\to 0^{+}}{\lim }(0-\ln (b))=\mathrm{\infty }.$$

Összegzés

Az improprius integrálok fontos szerepet játszanak a matematikában, különösen a valós analízisben és a matematikai fizikában. Az ilyen integrálokkal való munka során elengedhetetlen a határértékek alapos megértése és alkalmazása. Az improprius integrálok értelmezése és számítása különösen hasznos a végtelen sorok és a valószínűségi eloszlások vizsgálatában. Sablon:Hunl