Homogén lineáris egyenletrendszer

1. Sablon:Label Az $A\cdot \underset{\_}{x}=\underset{\_}{b}$ lineáris egyenletrendszert homogénnek nevezzük, ha $\underset{\_}{b}=\underset{\_}{o}$.

Homogén lineáris egyenletrendszer olyan egyenletrendszer, melyben a szabad tagok zéróval egyenlők. Úgy is fogalmazhatjuk, hogy kizárólag elsőfokú tagot tartalmaz - 0-adfokút sem. Az ilyen rendszer mindig megoldható, mert rendelkezik a (0, 0, …, 0) triviális megoldással.

megoldásvektorok száma

• Az $A\cdot \underset{\_}{x}=\underset{\_}{o}$ homogén lineáris egyenletrendszer mindig megoldható, az $\underset{\_}{x}=\underset{\_}{o}$ megoldásvektort triviális megoldásnak nevezzük.
• Az $A\cdot \underset{\_}{x}=\underset{\_}{o}$ homogén lineáris egyenletrendszernek csak triviális megoldása van $\iff r(A)=n$, ahol n az ismeretlenek száma.
• Az $A\cdot \underset{\_}{x}=\underset{\_}{o}$ homogén lineáris egyenletrendszernek van triviálistól különböző megoldása is $\iff r(A)<n$, ahol $n$ az ismeretlenek száma.

$$\begin{array}{ccc}\text{Megoldásvektorok száma}& \begin{array}{c}\text{Homogén lin. egyenletrendszer}\\ A_{m\times n}\cdot \underset{\_}{x}=\underset{\_}{o}\end{array}& \begin{array}{c}\text{Inhomogén lin. egyenletrendszer}\\ A_{m\times n}\cdot \underset{\_}{x}=\underset{\_}{b}\end{array}\\ \text{nincs megoldás}& -& \begin{array}{c}r(A)<r([A,\underset{\_}{b}])\\ M=\varnothing \end{array}\\ \begin{array}{c}\text{1 db. megoldásvektor}\\ \text{egyértelműen megoldható}\end{array}& \begin{array}{c}r(A)=n\\ M_0=\{\underset{\_}{o}\}\end{array}& \begin{array}{c}r(A)=r([A,\underset{\_}{b}])=n\\ M=\{{\underset{\_}{x}}_0\}\end{array}\\ \text{végtelen sok megoldásvektor}& \begin{array}{c}r(A)<n\\ M_0\end{array}& \begin{array}{c}r(A)=r([A,\underset{\_}{b}])<n\\ M=M_0+\left\{{\underset{\_}{x}}_0\right\}\end{array}\end{array}$$

• Sablon:En: Sablon:T, Sablon:T

• inhomogén lineáris egyenletrendszer