Folytonos eloszlás

1. Sablon:Label A folytonos eloszlás (continuous distribution) a valószínűségszámításban és statisztikában olyan eloszlás, amelyben a lehetséges értékek egy folytonos intervallumot alkotnak. Ez azt jelenti, hogy a valószínűségi változó bármilyen valós számot felvehet egy adott intervallumban, és a valószínűség, hogy a változó egy adott pontban legyen, nullának tekinthető.

Valószínűségi sűrűség függvény (PDF): A folytonos eloszlások esetében a valószínűséget a valószínűségi sűrűség függvény (PDF) határozza meg, amelyet f(x) jelöl. A PDF egy olyan függvény, amely minden x értékhez a valószínűségi sűrűséget rendeli hozzá.

Integrálás: A folytonos eloszlásnál a valószínűség egy adott intervallumban (például [a, b]) úgy számítható ki, hogy integráljuk a PDF-t ezen az intervallomon:

$P(a\le X\le b)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

Folytonos eloszlások példái:

• normál eloszlás: A leggyakoribb folytonos eloszlás, amely harang alakú görbével rendelkezik. A normál eloszlás a várható érték (μ) és a szórás (σ) jellemzi.
• exponenciális eloszlás: A folytonos eloszlás, amelyet általában a várakozási idő modellezésére használnak. A PDF-e az alábbi képlettel van definiálva:

$f(x;\lambda )=\lambda e^{-\lambda x}(x\ge 0)$

• Uniform eloszlás: Olyan eloszlás, ahol minden érték egyenlő valószínűséggel fordul elő egy adott intervallumban.

Jellemzők:

• Várható érték: A folytonos eloszlások várható értéke a PDF integrálásával számítható:

$𝔼[X]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}xf(x)dx$

• Variancia: A folytonos eloszlások varianciája szintén a PDF integrálásával számítható:

$\text{Var}(X)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(x-𝔼[X]{)}^{2}f(x)dx$