Exponenciális eloszlás

1. Sablon:Label Az exponenciális eloszlás egy fontos folytonos valószínűségi eloszlás, amelyet általában a várakozási idő modellezésére használnak két egymást követő esemény között egy adott időskálán. Például használható egy gép meghibásodásáig eltelt idő, vagy egy hívás érkezéséig eltelt idő modellezésére. Az exponenciális eloszlás gyakran a Poisson-folyamathoz kapcsolódik, amelyben az események függetlenül és állandó arányban fordulnak elő.

Valószínűségi Sűrűségfüggvény (PDF)

Az $X$ exponenciális eloszlású véletlen változó valószínűségi sűrűségfüggvénye a következő:

$$f(x;\lambda )=\lambda e^{-\lambda x},x\ge 0,$$

ahol:

• $\lambda >0$ az eloszlás paramétere, amely az események intenzitását vagy gyakoriságát jelzi. Ez az úgynevezett sebességparaméter.
• $e$ az Euler-féle szám ($e\approx 2.718$).

Eloszlásfüggvény (CDF)

Az eloszlásfüggvény, amely megadja annak a valószínűségét, hogy $X$ kevesebb vagy egyenlő $x$-nél:

$$F(x;\lambda )=P(X\le x)=1-e^{-\lambda x},x\ge 0.$$

Ez az $X$-nél kisebb érték valószínűségét adja meg.

Várható Érték és Szórás

Az exponenciális eloszlás jellemző statisztikai értékei:

- Várható érték ($E(X)$): $$E(X)=\frac{1}{\lambda }$$ Ez azt jelenti, hogy az átlagos várakozási idő két esemény között $\frac{1}{\lambda }$.

- Szórás ($\sigma$): $$\sigma =\frac{1}{\lambda }$$ Ez azt jelenti, hogy az eloszlás szórása azonos a várható értékkel.

Memória nélküli tulajdonság

Az exponenciális eloszlás különleges tulajdonsága a memória nélküli jelleg. Ez azt jelenti, hogy ha $X$ exponenciális eloszlású, akkor az esemény bekövetkezésének valószínűsége nem függ attól, hogy mennyi idő telt el. Formálisan:

$$P(X>s+t\mid X>t)=P(X>s),$$

ami azt jelenti, hogy a fennmaradó idő valószínűsége ugyanaz, függetlenül attól, hogy mennyi idő telt el.

Alkalmazások

Az exponenciális eloszlást számos területen alkalmazzák, különösen azokban az esetekben, amikor a véletlenszerűen bekövetkező események közötti várakozási időt vizsgálják. Néhány tipikus alkalmazás: - Telekommunikáció: A hívások érkezése közötti idő. - Ügyfélszolgálat: Az ügyfelek érkezési ideje a kiszolgálásra. - Meghibásodás: Egy gép vagy elektronikai eszköz meghibásodásáig eltelt idő (megbízhatósági elemzés).

Sablon:Ford

• Sablon:En: Sablon:T
• Sablon:De: Sablon:T
• Sablon:Ru: Sablon:T