Feltételes függetlenség

1. Sablon:Label A valószínűségszámításban a feltételes függetlenség az események, halmazrendszerek, valószínűségi változók függetlenségének általánosítása a feltételes valószínűség és feltételes várható érték segítségével. A feltételes függetlenséget felhasználják például valószínűségi változók felcserélhető családjainak definiálásához.

Definíció

Adva legyen az $(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },P)$ valószínűségi mező, és a $\mathrm{\Sigma }$ eseménytéren egy $𝒜$ σ-algebra. Legyen $P(\cdot |𝒜)$ az $𝒜$-ra vonatkozó feltételes valószínűség.

A $\mathrm{\Sigma }$ $({𝒜}_i{)}_{i\in I}$ rész-σ-algebráinak egy $({𝒜}_i{)}_{i\in I}$ családja feltételesen független $𝒜$-tól, ha $I$ minden véges $J$ részhalmazára és tetszőleges $A_j\in {𝒜}_j$ választása esetén, minden $j\in J$-re teljesül, hogy

$P(\bigcap _{j\in J}{A}_j|𝒜)=\prod _{j\in J}P(A_j|𝒜)$.

A feltételes valószínűség tulajdonságai alapján az identitás P-majdnem biztos.

Az $(X_i{)}_{i\in I}$ valószínűségi változók családja feltételesen független az $𝒜$-tól, ha az $(\sigma (X_i){)}_{i\in I}$ generált σ-algebrák feltételesen függetlenek $𝒜$-tól.