Független halmazrendszerek

1. Sablon:Label A valószínűségszámításban a halmazrendszerek függetlensége az események függetlenségének általánosítása, és segíti a valószínűségi változók függetlenségének definiálását. Emiatt a független halmazrendszerek a valószínűségszámítás alapfogalmai közé tartoznak, és fontos tételek feltételei is tartalmazzák.

Definíció

Adva legyen az $(\mathrm{\Omega },𝒜,P)$ valószínűségi tér, vagyis egy $𝒜\subseteq 𝒫(\mathrm{\Omega })$ σ-algebra az $\mathrm{\Omega }$ alaphalmazon, és egy $P:𝒜\to [0;1]$ valószínűségi mérték. Legyen a továbbiakban $I$ tetszőleges indexhalmaz és minden $i\in I$ indexhez tartozzon egy ${ℰ}_i\subseteq 𝒜$ adott halmazrendszer.

Az $({ℰ}_i{)}_{i\in I}$ halmazrendszerek függetlenek, ha $J\subset I$ minden véges $(E_j{)}_{j\in J}$ részhalmazára az $\mathrm{\forall }j\in J:E_j\in {ℰ}_j$ események függetlenek, vagyis

$P\left(\bigcap _{j\in J}{E}_j\right)=\prod _{j\in J}P(E_j)$.