Egyenletes konvergencia

1. Sablon:Label A matematikai analízisben az egyenletes konvergencia egy, a pontonkénti konvergenciánál erősebb konvergenciafajta. Függvények egy {f_n} sorozata egyenletesen tart az f határfüggvényhez, ha f_n(x) konvergenciasebessége nem függ x-től.

A fogalom azért fontos, mert megőrzi az f_n függvények egyes tulajdonságait, például a folytonosságot és a Riemann-integrálhatóságot, míg a pontonkénti konvergencia ezt nem teszi meg.

Definíció

Legyen $S$ halmaz, és $f_n:S\to ℝ$ függvény minden n-re. Azt mondjuk, hogy az $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ sorozat egyenletesen tart az $f:S\to ℝ$ függvényhez, ha minden $ϵ>0$-hoz van egy $N$ természetes szám, hogy minden $x\in S$ helyre és minden $n\ge N$ sorszámra $|f_n(x)-f(x)|<ϵ$.

Tekintsük az $a_n=\underset{x}{\sup }|f_n(x)-f(x)|$ sorozatot, ahol a szuprémum az összes $x\in S$-re megy. Ekkor $f_n$ egyenletesen tart $f$-hez, ha $a_n$ tart nullához.

Az $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ sorozat lokálisan egyenletesen konvergens, és tart $f$-hez, ha egy $S$ metrikus tér minden $x$ eleméhez létezik $r>0$, hogy $(f_n)$ egyenletesen konvergens $B(x,r)\cap S$-ben. Sablon:Hunl