Cramer-szabály

1. Sablon:Label A Cramer-szabály a lineáris egyenletrendszerek egyik megoldási módja. A megoldások az egyenletrendszerből képzett mátrixok determinánsainak hányadosaiként adódnak.

Tekintsük az $A\cdot \underset{\_}{x}=\underset{\_}{b}$ lineáris egyenletrendszert, ahol az $A$ együtthatómátrix négyzetes:

$A={\left[\begin{array}{c}{\underset{\_}{a}}_1{\underset{\_}{a}}_2\cdots {\underset{\_}{a}}_{\mathrm{n}}\end{array}\right]}_{n\times n}$

Legyen

$D=\det (A)$

$D_1=\det \left([\underset{\_}{b}{\underset{\_}{a}}_2\dots {\underset{\_}{a}}_{\mathrm{n}}]\right)$

$D_2=\det \left([{\underset{\_}{a}}_1\underset{\_}{b}\dots {\underset{\_}{a}}_{\mathrm{n}}]\right)$

$\dots$

$D_n=\det \left([{\underset{\_}{a}}_1{\underset{\_}{a}}_2\dots \underset{\_}{b}]\right)$

Ekkor:

$D\cdot x_k=D_k,k=1,\dots ,n$

Következmények:

1. Ha $D\ne 0$, akkor az egyenletrendszer egyértelműen megoldható és a megoldásvektor k-adik komponense: $x_k=D_k/D,k=1,\dots ,n.$
2. Ha $D=0$ és valamely k-ra $D_k\ne 0$, akkor az egyenletrendszer nem oldható meg.
3. Ha $D=D_1=\dots =D_n=0$ és $r(A)=r([A,\underset{\_}{b}])$, akkor az egyenletrendszernek végtelen sok megoldásvektora van. (Ebben az esetben a megoldásvektorok előállítására a Cramer-szabály nem alkalmas.)
4. Az $A\cdot \underset{\_}{x}=\underset{\_}{o}$ homogén lineáris egyenletrendszernek csak triviális megoldása van $\iff D\ne 0$.
5. Az $A\cdot \underset{\_}{x}=\underset{\_}{o}$ homogén lineáris egyenletrendszernek létezik triviálistól különböző megoldása is $\iff D=0.$ (Ebben az esetben az egyenletrendszernek végtelen sok megoldásvektora van, de ezeket a Cramer-szabállyal nem tudjuk előállítani.)

• Sablon:En: Sablon:T
• Sablon:Ru: Sablon:T