Cayley-tétel

1. Sablon:Humatek A Cayley-tétel a csoportelmélet egy jelentős eredménye, mely azt mondja ki, hogy minden G csoport izomorf a Sym(G) szimmetrikus csoport valamely részcsoportjával. A G csoport Sym(G) szimmetrikus csoportja nem más, mint a G halmaz önmagára vett összes bijekciójának (tehát permutációjának) csoportja a függvénykompozícióval mint művelettel ellátva. Az összes G → Sym(G) csoporthomomorfizmus meghatároz egy G-hatást a G-n, de a tétel szerint van egy kitüntetett T: G → Sym(G) homomorfizmus, mely izomorfizmus és amit a csoport reguláris- vagy Cayley-reprezentációjának nevezünk. A Cayley-tétel következménye, hogy minden tétel, ami permutációcsoportokra igaz, az csoportokra is igaz, mivel minden csoport ábrázolható permutációcsoportként. Az elnevezés Arthur Cayley nevét őrzi.

---

Cayley-tétel

Definíció

A Cayley-tétel a csoportelmélet egyik alapvető tétele, amely kimondja:

Más szóval, minden $G$ csoport izomorf a $G$-re vett bal oldali hatással definiált csoporttal, amely a permutációk $S_G$ csoportjának részcsoportja.

Tétel Állítása

Legyen $G$ egy csoport, amelynek rendje $|G|=n$. Ekkor:

1. Létezik egy injektív homomorfizmus $\varphi :G\to S_G$, ahol $S_G$ a $G$ elemeire definiált permutációk csoportja.
2. $G$ izomorf a permutációk egy részhalmazával ($\text{Im}(\varphi )$).

Ez azt jelenti, hogy bármely csoport modellezhető egy permutációs csoport részeként.

Fontos Fogalmak

Permutációs csoport ($S_n$)

- Az $S_n$ csoport az $n$-elemű halmaz összes permutációját tartalmazza. - Minden permutáció egy bijektív függvény, amely az elemek sorrendjét változtatja meg.

Bal oldali hatás

- A csoport elemei balról hatnak saját magukra: ${\varphi }_g(x)=g\cdot x,$ ahol $g,x\in G$, és ${\varphi }_g$ egy adott $g$ elem által meghatározott permutáció.

Cayley-tétel Bizonyítása

1. A homomorfizmus definíciója

Definiáljunk egy $\varphi :G\to S_G$ leképezést az alábbi módon: $\varphi (g)(x)=g\cdot x\mathrm{\forall }g,x\in G.$ Itt $\varphi (g)$ egy $G$-re vett permutációt jelent, amely az $x$ elemet $g\cdot x$-re képezi le.

2. $\varphi$ homomorfizmus

Vizsgáljuk meg, hogy $\varphi$ csoporthomomorfizmus: - Legyenek $g_1,g_2\in G$, akkor: $\varphi (g_1\cdot g_2)(x)=(g_1\cdot g_2)\cdot x.$ Ugyanakkor: $\varphi (g_1)\circ \varphi (g_2)(x)=\varphi (g_1)(\varphi (g_2)(x))=\varphi (g_1)(g_2\cdot x)=g_1\cdot (g_2\cdot x).$ Ezért: $\varphi (g_1\cdot g_2)=\varphi (g_1)\circ \varphi (g_2),$ így $\varphi$ homomorfizmus.

3. $\varphi$ injektív

- Ha $\varphi (g_1)=\varphi (g_2)$, akkor $g_1\cdot x=g_2\cdot x$ minden $x\in G$-re. - Mivel a csoportművelet invertálható, ez azt jelenti, hogy $g_1=g_2$. - Tehát $\varphi$ injektív.

4. $\varphi$ képe egy permutációs részcsoport

- A $\varphi$ képe ($\text{Im}(\varphi )$) a permutációs csoport ($S_G$) egy részcsoportja. - Ez a részcsoport izomorf $G$-vel, mivel $\varphi$ injektív és homomorfizmus.

5. Következtetés

- $G$ izomorf a permutációk egy részcsoportjával ($\text{Im}(\varphi )$). - Ez azt jelenti, hogy $G$ mindig reprezentálható permutációs csoportként.

Példa

Példa: $G={\mathbb{Z}}_3$

- $G=\{0,1,2\}$, ahol az összeadás modulo $3$-mal van definiálva. - $S_3$ a három elem összes permutációját tartalmazza.

Homomorfizmus

- $\varphi (0):x\mapsto x$ (identitás permutáció). - $\varphi (1):x\mapsto (x+1mod3)$. - $\varphi (2):x\mapsto (x+2mod3)$.

Eredmény

- A $\varphi$-vel definiált permutációk egy részcsoportot alkotnak $S_3$-ban, amely izomorf ${\mathbb{Z}}_3$-mal.

Fontos Következmények

1. Csoportok permutációs modellje:

  - Minden csoport permutációs csoportként ábrázolható.

1. Véges csoportok tanulmányozása:

  - A Cayley-tétel lehetővé teszi, hogy véges csoportokat permutációkon keresztül vizsgáljunk.

1. Csoportreprezentációk:

  - A tétel alapot ad a csoportok ábrázolásának elméletéhez, különösen a permutációs reprezentációkhoz.

Összegzés

A Cayley-tétel azt mondja ki, hogy minden csoport ábrázolható permutációs csoportként. Ez a tétel egy alapvető eszköz a csoportelméletben, amely megmutatja, hogy a permutációs csoportok elegendőek minden más csoport struktúrájának reprezentálására.

• Sablon:En: Sablon:T