Cayley-Hamilton-tétel

1. Sablon:Humatek Cayley–Hamilton-tétel a lineáris algebra, azon belül is a mátrixalgebra jelentős tétele. Azt mondja ki, hogy a komplex test feletti tetszőleges A négyzetes mátrix kielégíti saját karakterisztikus egyenletét. A tételt először Hamilton bizonyította 1862-ben, de csak egy speciális esetben, a kvaterniók által alkotott vektortérre.

---

Cayley–Hamilton-tétel

Definíció

A Cayley–Hamilton-tétel a lineáris algebra egyik alapvető tétele, amely kimondja:

Matematikai Formuláció

Legyen $A$ egy $n\times n$ méretű négyzetes mátrix, és legyen a karakterisztikus polinomja: $p(\lambda )=\det (\lambda I-A),$ ahol $I$ az egységmátrix. A $p(\lambda )$ egy $n$-ed fokú polinom: $p(\lambda )=c_n{\lambda }^n+c_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\dots +c_1\lambda +c_0,$ ahol a $c_i$ a polinom együtthatói. A tétel szerint: $p(A)=0,$ azaz: $c_n{A}^n+c_{n-1}{A}^{n-1}+\dots +c_{1}A+c_{0}I=0,$ ahol $0$ a nullmátrix.

Fontos Fogalmak

Karakterisztikus polinom

- Egy $A$ mátrix karakterisztikus polinomja a következőképpen definiált: $p(\lambda )=\det (\lambda I-A),$ ahol $\det$ az $\lambda I-A$ mátrix determinánsa.

Sajátérték és sajátvektor

- A karakterisztikus polinom gyökei a mátrix sajátértékei, azaz azok az $\lambda$ értékek, amelyekre létezik nem nullvektor $v$, hogy: $Av=\lambda v.$

Nullmátrix

- Egy mátrix minden eleme nulla ($0$).

Cayley–Hamilton-tétel Bizonyítása

1. Karakterisztikus polinom és mátrixhelyettesítés

- Legyen $p(\lambda )$ a $A$ mátrix karakterisztikus polinomja: $p(\lambda )=\det (\lambda I-A).$ - A $p(A)$ mátrixpolinomot a $\lambda$ változó helyére $A$-t helyettesítve kapjuk: $p(A)=c_n{A}^n+c_{n-1}{A}^{n-1}+\dots +c_{1}A+c_{0}I.$

2. Algebrai manipulációk

- A determináns definíciója szerint $p(\lambda )$ megadja az $A-\lambda I$ mátrix sajátértékeinek helyét, azaz a determináns $0$-val való egyenlőségét. - A mátrixszorzás és polinomhelyettesítés megőrzi az algebrai struktúrát, így a $p(A)$-ra való helyettesítés is érvényes.

3. Helyettesítés és nullmátrix

- Helyettesítsük be $A$-t a polinom egyenletébe: $p(A)=c_n{A}^n+c_{n-1}{A}^{n-1}+\dots +c_{1}A+c_{0}I.$ - A tétel szerint: $p(A)=0,$ ami azt jelenti, hogy $p(A)$ a nullmátrixot adja eredményül.

4. Alternatív bizonyítás (Jordan-forma segítségével)

- Egy mátrix mindig diagonizálható, vagy Jordan-formára hozható. - A Cayley–Hamilton-tétel igaz a diagonális mátrixokra, mivel a karakterisztikus polinom gyökei (sajátértékek) a diagonális elemek. - A Jordan-forma esetén a polinom helyettesítése szintén nullmátrixot eredményez.

Példa

Legyen

$A=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 3\end{array}\right].$

1. Karakterisztikus polinom

$p(\lambda )=\det (\lambda I-A)=\det \left[\begin{array}{cc}\lambda -2& -1\\ -1& \lambda -3\end{array}\right].$ $p(\lambda )=(\lambda -2)(\lambda -3)-(-1)(-1)={\lambda }^2-5\lambda +5.$

2. A tétel állítása

Helyettesítsük be $A$-t a $p(\lambda )$-ba: $p(A)=A^2-5A+5I.$

3. Mátrixszorzások

Számítsuk ki $A^2$: $A^2=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 3\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}5& 5\\ 5& 10\end{array}\right].$ Számítsuk ki $-5A$ és $5I$: $-5A=\left[\begin{array}{cc}-10& -5\\ -5& -15\end{array}\right],5I=\left[\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 5\end{array}\right].$

4. Összegzés

$p(A)=A^2-5A+5I=\left[\begin{array}{cc}5& 5\\ 5& 10\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}-10& -5\\ -5& -15\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 5\end{array}\right].$ $p(A)=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right].$

Fontos Következmények

1. Mátrixok tulajdonságai:

  - A Cayley–Hamilton-tétel segítségével mátrixok hatványaira vonatkozó számítások egyszerűsíthetők.

1. Sajátértékek és sajátvektorok:

  - A tétel segítségével sajátértékekkel kapcsolatos problémák kezelhetők.

1. Lineáris differenciálegyenletek:

  - A mátrixexponenciális számításában fontos szerepet játszik.

1. Numerikus módszerek:

  - A mátrixalgebra gyakorlati alkalmazásaiban hasznos.

Összegzés

A Cayley–Hamilton-tétel megmutatja, hogy minden mátrix kielégíti saját karakterisztikus polinomját, ami az algebrai és numerikus módszerek széles körében kulcsfontosságú eszközzé teszi. A tétel segítségével a mátrixalgebra elmélyíthető és hatékonyan alkalmazható számos problémában.

• Sablon:En: Sablon:T