Young-tétel

1. Sablon:Humatek

---

Young-tétel (Vegyes másodrendű deriváltak egyenlősége)

Definíció

A **Young-tétel** a többváltozós analízis egy alapvető eredménye, amely kimondja, hogy megfelelő simasági feltételek mellett a vegyes másodrendű deriváltak sorrendje felcserélhető.

> **Tétel**: Legyen $f(x,y)$ kétszer differenciálható egy $U\subseteq {ℝ}^2$ nyílt halmazon. Ekkor: $$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}.$$

Általános eset

Ha $f$ egy $U\subseteq {ℝ}^n$ nyílt halmazon $k$-szor differenciálható, akkor bármely sorrendben vett $k$-adik részderiváltak egyenlőek: $$\frac{{\partial }^{k}f}{\partial x_{i_1}\partial x_{i_2}\dots \partial x_{i_k}}=\frac{{\partial }^{k}f}{\partial x_{\sigma (i_1)}\partial x_{\sigma (i_2)}\dots \partial x_{\sigma (i_k)}},$$ ahol $\sigma$ egy tetszőleges permutáció.

Fontos Feltételek

- $f$ legyen kétszer folytonosan differenciálható ($C^2$-osztályú) az adott $U$ nyílt halmazon. - A $C^2$-osztály biztosítja, hogy a vegyes részderiváltak folytonosak, így a deriválási sorrend felcserélhető.

Bizonyítás

1. Feltételezés

Legyen $f(x,y)$ egy $C^2$-osztályú függvény $U$-n.

2. Másodrendű deriváltak definiálása

- A vegyes másodrendű deriváltakat a határértékek definíciójával írjuk fel: $$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{h}[\frac{\partial f}{\partial y}(x+h,y)-\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)],$$ $$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{h}[\frac{\partial f}{\partial x}(x,y+h)-\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)].$$

3. Differenciálás sorrendjének felcserélése

- Mivel $f$ $C^2$-osztályú, a deriváltak folytonossága biztosítja, hogy a két részderivált határértéke azonos: $$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}.$$

4. Általánosítás többváltozós esetekre

- A $C^k$-osztály feltétele biztosítja, hogy a $k$-adik részderiváltak sorrendje bármilyen permutáció esetén felcserélhető.

Példák

Példa 1: Egyszerű függvény

Legyen $f(x,y)=x^{2}y+y^{3}x$. Számítsuk ki a vegyes másodrendű deriváltakat:

• $\frac{\partial f}{\partial x}=2xy+y^3$,
• $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=2x+3y^2$,
• $\frac{\partial f}{\partial y}=x^2+3y^{2}x$,
• $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}=2x+3y^2$.

Mivel $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}$, a tétel igaz.

Példa 2: Fizikai alkalmazás

A potenciálfüggvény $f(x,y)$ esetén a vegyes másodrendű deriváltak szimmetriája biztosítja a konzervatív erőtér tulajdonságait.

Fontos Következmények

1. **Részderiváltak szimmetriája**:

  - A tétel garantálja, hogy a vegyes részderiváltak szimmetrikusak $C^2$-osztályú függvények esetén.

1. **Konzervatív erőterek**:

  - A tétel a potenciálfüggvények szimmetriáját is biztosítja, amelyek alapvetőek a fizikában, különösen a mechanikában.

1. **Többváltozós Taylor-sor**:

  - A tétel lehetővé teszi a Taylor-sorfejtés permutált deriváltjainak azonosítását.

Összegzés

A **Young-tétel** alapvető eredmény a többváltozós analízisben, amely biztosítja, hogy megfelelő simasági feltételek mellett a vegyes másodrendű deriváltak felcserélhetők. Ez a tétel a matematikai analízis és a fizikai alkalmazások számos területén alapvető szerepet játszik.

• Sablon:En: Sablon:T