Weierstrass-tétel

1. Sablon:Humatek A Weierstrass-tétel a matematikában az analízis egyik legfontosabb, alapvető tétele. Az egyváltozós valós függvények esetén a legtöbbször alkalmazott alakja az, hogy korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvénynek van abszolút maximuma és abszolút minimuma. A tétel tetszőleges korlátos és zárt, azaz kompakt halmazra is érvényes amennyiben ${ℝ}^n$-ben maradunk. Általában, Hausdorff-féle topologikus terekben (ahol a korlátos és zárt feltételegyüttes nem esik egybe a kompaktsági kitétellel) a tétel kompakt halmazokra érvényes.

---

Weierstrass-approximációs tétel

Definíció

A **Weierstrass-approximációs tétel** a valós függvények elméletének egyik alapvető eredménye, amely kimondja, hogy minden folytonos függvény egy zárt intervallumon tetszőleges pontossággal közelíthető polinomfüggvényekkel.

> **Tétel**: Ha $f$ egy folytonos függvény a $[a,b]$ zárt intervallumon, akkor létezik egy polinomfüggvény $P(x)$, amelyre: $$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\underset{x\in [a,b]}{\sup }|f(x)-P(x)|<\epsilon .$$

Ez azt jelenti, hogy bármely folytonos függvényhez található polinom, amely tetszőlegesen jól közelíti azt az adott intervallumon.

Fontos Fogalmak

Folytonos függvény

- Egy $f(x)$ függvény folytonos, ha bármely $x_0\in [a,b]$ pontra teljesül: $$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0).$$

Polinomközelítés

- Egy polinom $P(x)=c_0+c_{1}x+c_2{x}^2+\dots +c_n{x}^n$ közelíti $f(x)$-et, ha az $f(x)$ és $P(x)$ közötti eltérés $[a,b]$-n tetszőlegesen kicsivé tehető.

Szupremum normája

- Az eltérést az alábbi normával mérjük: $$\underset{x\in [a,b]}{\sup }|f(x)-P(x)|,$$ ami az $f(x)$ és $P(x)$ közötti maximális eltérést adja az $[a,b]$ intervallumon.

Bizonyítás

1. Bernstein-polinomok

A bizonyításban a **Bernstein-polinomok** konstrukcióját használjuk. Legyen: $$B_n(f,x)=\sum _{k=0}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^k(1-x{)}^{n-k},$$ ahol $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ a binomiális együttható.

2. Polinom közelítése

A $B_n(f,x)$ Bernstein-polinom a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

1. $B_n(f,x)$ egy polinom $x$-ben, amely fokszáma legfeljebb $n$.
2. Ha $f$ folytonos a $[0,1]$-en, akkor:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{B}_n(f,x)=f(x)\text{egyenletesen a }[0,1]\text{-en}.$$

3. Egyenletes konvergencia bizonyítása

A Bernstein-polinomok konvergenciájának alapja a valószínűségelmélet egy eredménye, miszerint: - A $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^k(1-x{)}^{n-k}$ tagok $x$-hez közel koncentrálódnak, ahogy $n\to \mathrm{\infty }$. - Ennek eredményeként a $B_n(f,x)$ polinomok az $f(x)$ függvényt tetszőlegesen jól közelítik.

4. Általánosítás $[a,b]$-re

Ha $f(x)$ folytonos $[a,b]$-n, akkor az $[a,b]$-t átskálázhatjuk $[0,1]$-re a következő transzformációval: $$g(t)=f(a+t(b-a)),t\in [0,1].$$ Ezután a $g(t)$-re alkalmazhatjuk a Bernstein-polinomokat, majd visszaskálázással megkapjuk az eredeti függvényt közelítő polinomot.

5. Következtetés

A Bernstein-polinomok konstrukciója bizonyítja, hogy bármely folytonos függvény tetszőlegesen jól közelíthető polinomokkal az adott zárt intervallumon.

Példák

Példa 1: Egyszerű függvény közelítése

Legyen $f(x)=x^2$ a $[0,1]$-en. A Bernstein-polinom: $$B_n(f,x)=\sum _{k=0}^n{\left(\frac{k}{n}\right)}^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^k(1-x{)}^{n-k}.$$ Ez a polinom tetszőlegesen jól közelíti $f(x)=x^2$-et, ahogy $n\to \mathrm{\infty }$.

Példa 2: Nem polinomiális függvény

Legyen $f(x)=\sin (x)$ a $[0,\pi ]$-n. A Weierstrass-tétel garantálja, hogy létezik olyan polinom $P(x)$, amelyre: $$\underset{x\in [0,\pi ]}{\sup }|\sin (x)-P(x)|<\epsilon ,$$ bármely $\epsilon >0$-ra.

Fontos Következmények

1. **Folytonos függvények közelíthetősége**:

  - A tétel biztosítja, hogy bármely folytonos függvény polinomokkal közelíthető, ami alapvető a numerikus analízisben és az interpolációs módszerekben.

1. **Fourier-sorok és polinomok kapcsolata**:

  - A tétel lehetővé teszi, hogy a trigonometrikus függvények sorfejtését polinomközelítésekkel helyettesítsük.

1. **Számítógépes alkalmazások**:

  - A Weierstrass-tétel alapja a függvények numerikus reprezentációjának és számításának.

Összegzés

A **Weierstrass-approximációs tétel** az analízis egyik legfontosabb eredménye, amely biztosítja, hogy bármely folytonos függvény tetszőleges pontossággal közelíthető polinomokkal egy zárt intervallumon. Ez a tétel az interpolációs módszerek, numerikus algoritmusok és a számítógépes matematikai modellezés alapját képezi.

• Sablon:En: Sablon:T