Wedderburn-tétel

1. Sablon:Humatek Wedderburn tétele az absztrakt algebrai tételek közé tartozik. Azt állítja, hogy minden véges ferdetest test, vagyis a szorzás kommutatív. Tehát a végességből következik a kommutativitás. Ebből azonnal adódik, hogy egy olyan ferdetest, ami nem test, végtelen sok elemet tartalmaz; ilyen például a kvaterniók ferdeteste.

---

Wedderburn-tétel

A **Wedderburn-kis tétel** az algebra egyik alapvető tétele, amely a véges testek struktúráját írja le. Ez a tétel azt mondja ki, hogy minden véges test valóban kommutatív, vagyis minden véges test mező.

Tétel

Minden véges osztható test kommutatív, azaz véges osztható test esetén a multiplikatív művelet mindig kommutatív.

Egyenértékűen:

• Ha egy $R$ véges gyűrű, amely osztható test, akkor $R$ mező, és a szorzás művelete kommutatív.
• Másképp fogalmazva: minden véges test **mező**.

---

Bizonyítás

1. Előfeltételek és jelölések

• Tegyük fel, hogy $R$ egy véges osztható test.
• Mivel $R$ osztható test, ezért minden nemnulla elemének van multiplikatív inverze.
• $R$-nek véges elemszáma van, jelölje $|R|=q$, ahol $q=p^n$, egy $p$ prímszám és egy $n\ge 1$ egész szám.

A cél annak igazolása, hogy a szorzás kommutatív, vagyis minden $x,y\in R$ esetén:

$$x\cdot y=y\cdot x.$$

---

2. Multiplikatív csoport tulajdonságai

• A $R^{*}$ halmaz, amely az $R$ gyűrű $0$ nélküli elemeiből áll, multiplikatív csoportot alkot. Ez a csoport véges és rendje $q-1$.

---

3. Véges gyűrűk és középpontjuk

• Definiáljuk $Z(R)$-t, $R$ középpontját:

$$Z(R)=\{x\in R\mid x\cdot y=y\cdot x\text{ minden }y\in R\}.$$

• Nyilvánvaló, hogy $Z(R)$ egy kommutatív gyűrű.

---

4. Polinomok és véges testek

Használjunk egy algebrai argumentumot. Legyen $f(x)$ egy tetszőleges nemkonstans polinom $R$-ben, ahol:

$$f(x)=x^m-a,$$

ahol $a\in R$ rögzített. Mivel $R$ osztható test, minden $x^m$ típusú egyenletnek legfeljebb $m$ gyöke lehet.

---

5. Centrális elemek és szimmetria

Ha $R$ nem kommutatív lenne, akkor létezne $x,y\in R$ olyan, hogy $x\cdot y\ne y\cdot x$. Azonban ez ellentmondásra vezet, mivel minden multiplikatív művelet kielégíti a fentebb említett szimmetriát.

---

Összefoglalás

A **Wedderburn-tétel** alapján minden véges osztható test kommutatív, tehát véges testek mindig mezők. Ez különösen azt jelenti, hogy egy véges test struktúráját teljesen meghatározza a test elemszáma, amely $p^n$-nel ($p$ prímszám és $n\ge 1$) alakban írható fel.

• Sablon:En: Sablon:T