Valószínűségi változó várható értéke

1. Sablon:Label A valószínűségi változó várható értéke (vagy átlag) egy alapvető fogalom a valószínűségszámításban, amely megmutatja, hogy egy adott kísérlet hosszú távú, átlagos eredménye milyen értékre számítható. A várható érték a valószínűségi változó súlyozott átlagaként értelmezhető, ahol a súlyok a különböző kimenetek valószínűségei.

Diszkrét Valószínűségi Változó Várható Értéke

Diszkrét valószínűségi változó esetén, amelynek kimenetei $x_1,x_2,\dots ,x_n$ és a hozzájuk tartozó valószínűségek $P(X=x_1),P(X=x_2),\dots ,P(X=x_n)$, a várható érték ($E(X)$) a következőképpen számítható:

$$E(X)=\sum _{i=1}^n{x}_i\cdot P(X=x_i)$$

Folytonos Valószínűségi Változó Várható Értéke

Folytonos valószínűségi változó esetén, ahol a változó egy adott tartományban vehet fel értékeket, a várható érték a következő integrál segítségével számítható:

$$E(X)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x\cdot f(x)dx$$

ahol $f(x)$ a valószínűségi sűrűségfüggvény.

Példák

1. Diszkrét Valószínűségi Változó Példa

Tegyük fel, hogy egy kockát dobunk, és a kocka kimenetei a következők: - $1$ (valószínűség: $\frac{1}{6}$) - $2$ (valószínűség: $\frac{1}{6}$) - $3$ (valószínűség: $\frac{1}{6}$) - $4$ (valószínűség: $\frac{1}{6}$) - $5$ (valószínűség: $\frac{1}{6}$) - $6$ (valószínűség: $\frac{1}{6}$)

A várható érték kiszámítása:

$$E(X)=1\cdot \frac{1}{6}+2\cdot \frac{1}{6}+3\cdot \frac{1}{6}+4\cdot \frac{1}{6}+5\cdot \frac{1}{6}+6\cdot \frac{1}{6}$$

$$E(X)=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{21}{6}=3.5$$

2. Folytonos Valószínűségi Változó Példa

Tegyük fel, hogy egy folytonos valószínűségi változó $X$ egy $0$ és $1$ közötti egyenletes eloszlású. A sűrűségfüggvény:

$$f(x)=\{\begin{array}{cc}1& \text{ha }0\le x\le 1\\ 0& \text{máskülönben}\end{array}$$

A várható érték kiszámítása:

$$E(X)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}x\cdot 1dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}xdx={\left[\frac{x^2}{2}\right]}_0^1=\frac{1^2}{2}-\frac{0^2}{2}=\frac{1}{2}$$

Összegzés

A várható érték segít megérteni, hogy egy valószínűségi változó átlagos viselkedése milyen eredményeket mutat hosszú távon. Használható különböző statisztikai elemzések és döntések támogatására. Sablon:Hunl