Valós szám

1. Sablon:Matematika A valós számok $ℝ$ azonosíthatók a számegyenes pontjaival. A valós számok gyakran használt részhalmazai:
   • Racionális számok: $\mathbb{Q}=\{\dots ,-\frac{2}{1},-\frac{1}{2},-\frac{1}{1},0,\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{2}{1},\frac{1}{3},\dots \}=\left\{\frac{p}{q}\right|p\in \mathbb{Z},q\in \mathbb{N}\setminus \{0\}\}$
   • Egész számok: $\mathbb{Z}=\{\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots \}$.
   • Természetes számok: $\mathbb{N}$ (a 0 nélkül): $\{1,2,3,\dots \}$ vagy (a 0 számmal): $\{0,1,2,3,\dots \}$ (úgy is, mint ${\mathbb{N}}_0$).
   • Irracionális számok: $ℝ\setminus \mathbb{Q}$, azok a valós számok, melyek nem racionálisak.
   • A valós számok egy modelljének nevezzük azt az R halmazt, amely tartalmaz két elemet (0 és 1), értelmezünk rajta két bináris műveletet (+ és *, összeadás és szorzás) és egy bináris relációt (≤), valamint ezek kielégítik a következő tulajdonságokat:
   • $(ℝ,+,\cdot )$ testet alkot, azaz $\mathrm{\forall }x,y,z\in ℝ$:
   • Asszociativitás: $x+(y+z)=(x+y)+z$ és $x\cdot (y\cdot z)=(x\cdot y)\cdot z$
   • Kommutativitás: $x+y=y+x$ és $x\cdot y=y\cdot x$
   • A szorzás disztributív az összeadásra nézve: $x\cdot (y+z)=(x\cdot y)+(x\cdot z)$
   • Additív semleges elem, a nullelem létezése: $x+0=x$
   • Multiplikatív semleges elem, az egységelem létezése: $x\cdot 1=x$
   • Additív inverz létezése: $x+(-x)=0$
   • Multiplikatív inverz létezése: ha $x\ne 0$, akkor $x\cdot x^{-1}=1$
   • $0\ne 1$
   • R-en teljes rendezés ≤, azaz minden $\mathrm{\forall }x,y,z\in ℝ$:
   • Reflexivitás: x ≤ x
   • Antiszimmetria: ha x ≤ y és y ≤ x, akkor x = y
   • Tranzitivitás: ha x ≤ y és y ≤ z, akkor x ≤ z
   • Teljesség: x ≤ y vagy y ≤ x
   • Az összeadás és a szorzás kompatibilis a rendezéssel, azaz minden x, y, z-re az R-ből:
   • Ha x ≤ y, akkor x + z ≤ y + z
   • Ha 0 ≤ x és 0 ≤ y, akkor 0 ≤ x*y
   • Minden nem üres részhalmazának ha van felső korlátja R-ben, akkor van legkisebb felső korlátja (szuprémuma) is R-ben.

• Sablon:En: Sablon:T
• Sablon:Fr: Sablon:T
• Sablon:Ru: Sablon:T, действительное число
• Sablon:Ro: Sablon:T
• Sablon:Sv: Sablon:T

• természetes számok
• egész szám
• racionális szám
• irracionális számok