Várható eltérés

1. Sablon:Label A várható eltérés (más néven átlagos abszolút eltérés vagy MAD – Mean Absolute Deviation) egy statisztikai mérőszám, amely azt mutatja meg, hogy egy adathalmaz egyes elemei átlagosan mennyire térnek el az adathalmaz középértékétől (leggyakrabban az átlagtól). Ez egy alternatív mérőszám a szórás helyett, mivel az eltéréseket abszolút értékben veszi figyelembe, így kevésbé érzékeny a szélsőséges értékekre, mint a szórás.

Képlet: Ha van egy $x_1,x_2,\dots ,x_n$ mintából származó adathalmaz, ahol $\overline{x}$ az átlag, akkor a várható eltérés (MAD) a következőképpen számítható:

$$\text{Várható eltérés}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n|x_i-\overline{x}|$$

Ahol: - $n$ a minta elemszáma, - $x_i$ az egyes adatpontok, - $\overline{x}$ a mintaátlag, - $|x_i-\overline{x}|$ az egyes adatok átlagtól való abszolút eltérése.

Lépések a várható eltérés kiszámításához: 1. Átlag kiszámítása ($\overline{x}$): Számoljuk ki az adathalmaz átlagát. 2. Eltérések kiszámítása: Számoljuk ki minden egyes adatpont eltérését az átlagtól ($x_i-\overline{x}$). 3. Eltérések abszolút értéke: Minden eltérés abszolút értékét vesszük, így az összes eltérés pozitív lesz. 4. Átlag kiszámítása: Az abszolút eltérések összegét elosztjuk a minta elemszámával, hogy megkapjuk az átlagos abszolút eltérést.

Példa: Tegyük fel, hogy van egy adathalmaz: $5,8,12,15,18$.

1. Átlag kiszámítása:

$$\overline{x}=\frac{5+8+12+15+18}{5}=11.6$$

2. Eltérések kiszámítása:

$$5-11.6=-6.6,8-11.6=-3.6,12-11.6=0.4,15-11.6=3.4,18-11.6=6.4$$

3. Eltérések abszolút értékei:

$$|-6.6|=6.6,|-3.6|=3.6,|0.4|=0.4,|3.4|=3.4,|6.4|=6.4$$

4. Átlagos abszolút eltérés (várható eltérés):

$$\text{MAD}=\frac{6.6+3.6+0.4+3.4+6.4}{5}=4.08$$

Tehát az adathalmaz várható eltérése 4.08.

Miért hasznos a várható eltérés?

- Érzékenyebb a szélsőséges értékekre: A szórás a négyzetre emeli az eltéréseket, így a szélsőséges értékek nagyobb hatással vannak a szórásra, míg a várható eltérés lineárisan kezeli az eltéréseket, így kevésbé érzékeny a szélsőséges értékekre.

- Érthető: A várható eltérés intuitívabb lehet, mivel közvetlenül az átlagtól való átlagos eltérést mutatja meg, és abszolút értéket használ.

Összefoglalva, a várható eltérés egy egyszerű és hasznos mérőszám, amely segít megérteni az adatok szóródását, és különösen hasznos, ha kevésbé akarunk érzékenyek lenni a szélsőséges értékekre, mint a szórás esetében. Sablon:Hunl