Thalész-tétel

1. Sablon:Humatek

Thalész-tétel

Definíció

A **Thalész-tétel** az euklideszi geometria egyik alapvető tétele, amely kimondja:

Matematikailag: Ha $AB$ a kör átmérője, és $C$ bármely pont a körön, akkor az $\mathrm{△}ABC$-ben $\mathrm{\angle }ACB=90^{\circ }$.

Geometriai Értelmezés

- Egy $O$ középpontú kör esetén, ahol az $AB$ átmérő, és $C$ a körvonalon található:

 * $AC$ és $BC$ a kör sugarai.
 * Az $\mathrm{△}ABC$ háromszög derékszögű lesz, mivel $\mathrm{\angle }ACB=90^{\circ }$.

Bizonyítás

1. Feltevések

- Legyen adott egy kör, amelynek középpontja $O$, átmérője $AB$, és egy $C$ pont a körvonalon. - Az $AB$ egyenesen és a $C$ ponttal alkotott $\mathrm{△}ABC$-ben azt kell bizonyítanunk, hogy $\mathrm{\angle }ACB=90^{\circ }$.

2. Háromszög tulajdonságai

- Az $AC$ és $BC$ szakaszok a kör sugarai, így: $$OA=OB=OC=R,$$ ahol $R$ a kör sugara.

3. Szögszámítás

- Az $\mathrm{△}ABC$ egyenlő szárú háromszög, az $OA$ és $OB$ sugarak miatt. - Az $\mathrm{\angle }ACB$ szög az átmérő tulajdonságai miatt: $$\mathrm{\angle }ACB=\frac{1}{2}\cdot 180^{\circ }=90^{\circ }.$$

4. Pitagorasz-tétel alkalmazása

- Az $\mathrm{△}ABC$-ben az $AB$ oldal átmérő, így: $$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2.$$

5. Következtetés

- Az $\mathrm{△}ABC$ háromszög derékszögű, és $\mathrm{\angle }ACB=90^{\circ }$.

Példák

Példa 1: Egyszerű kör és háromszög

- Adott egy kör átmérője $AB=10$, és a körvonalon egy $C$ pont. Az $\mathrm{△}ABC$-ben:

 * $AC=6$, $BC=8$,
 * $A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2=6^2+8^2=36+64=100$,
 * Ez megerősíti, hogy $\mathrm{\angle }ACB=90^{\circ }$.

Példa 2: Tetszőleges pont a körvonalon

- Ha $C$ bármely pont a körön (nem az $AB$ átmérő végpontjai), akkor az $\mathrm{△}ABC$-ben mindig $\mathrm{\angle }ACB=90^{\circ }$.

Fontos Következmények

1. **Derékszög és kör kapcsolata**:

  - Egy háromszög akkor és csak akkor derékszögű, ha a köré írt kör átmérője a háromszög egyik oldalát alkotja.

1. **Geometriai szerkesztések**:

  - A Thalész-tételt gyakran használják derékszög szerkesztésére körzővel és vonalzóval.

1. **Kör geometriája**:

  - A tétel a körvonalon lévő szögek fontos tulajdonságait hangsúlyozza.

Összegzés

A **Thalész-tétel** az euklideszi geometria egyik legismertebb tétele, amely a kör és a háromszög kapcsolatát írja le. Egyszerű bizonyítása ellenére a tétel alapvető szerepet játszik a geometriai problémák megoldásában és a matematikai tanulmányokban.

• Sablon:En: Sablon:T