Szinusztétel

1. Sablon:Label A szinusztétel egy geometriai tétel, miszerint egy tetszőleges háromszög oldalainak aránya megegyezik a szemközti szögek szinuszainak arányával.

---

Szinusztétel

A **szinusztétel** az euklideszi geometria egyik alapvető tétele, amely a háromszög oldala és szemközti szöge közötti kapcsolatot írja le. Ez a tétel hasznos a háromszögek területének kiszámításában és az ismeretlen oldalak vagy szögek meghatározásában.

Tétel

Legyen $ABC$ egy háromszög, amelynek oldalai:

• $a$: a $BC$ oldallal szemben,
• $b$: az $AC$ oldallal szemben,
• $c$: az $AB$ oldallal szemben.

Ekkor a háromszögre teljesül:

$$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2R,$$

ahol:

• $\alpha ,\beta ,\gamma$: a háromszög $A,B,C$ csúcsainál lévő szögek,
• $R$: a háromszög köré írható kör sugara.

---

Bizonyítás

1. A háromszög köré írható kör és a középponti szögek

• A háromszög bármelyik oldala azonosítható a körhöz tartozó egy ívvel.
• A kör középpontját jelöljük $O$-val, és a kör sugarát $R$-rel.

---

2. Kör középponti szög és kerületi szög kapcsolata

A $\alpha$ szöget nézzük meg először:

• A kör középponti szöge kétszerese a kerületi szögnek, tehát a háromszög $A$-nál lévő szöge (kerületi szög) alapján a kör középponti szög $2\alpha$.
• Az $a$ oldal a kör középpontjánál lévő $2\alpha$ szögnek megfelelő ívhosszal kapcsolatos.

---

3. Az oldal és a szinusz kapcsolata

A kör geometriája alapján az $a$ oldalt a kör sugara és a szinusz segítségével lehet kifejezni:

$$a=2R\cdot \sin \alpha ,$$

ahol $R$ a kör sugara.

---

4. Hasonló érvelés a másik két oldalra

Hasonlóan az $b$ és $c$ oldalakra:

$$b=2R\cdot \sin \beta ,c=2R\cdot \sin \gamma .$$

---

5. Az arányok egyenlősége

Osszuk el mindegyik egyenletet $2R$-rel:

$$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2R.$$

Ez bizonyítja a szinusztételt.

---

Következmények

1. Oldalak aránya:

A szinusztétel szerint a háromszög bármely két oldalának aránya megegyezik a szemközti szögek szinuszának arányával: $$\frac{a}{b}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }.$$

1. Háromszög megoldása:

A szinusztétel segítségével, ha egy háromszög két oldalát és egy nem közrezárt szögét, vagy egy oldalt és a szemközti szöget ismerjük, akkor kiszámíthatjuk a többi oldalt vagy szöget.

1. Kör sugara:

A szinusztételből a köré írható kör sugarát is meghatározhatjuk: $$R=\frac{a}{2\sin \alpha }.$$

---

Példa

Legyen adott egy háromszög:

• $a=8$,
• $\alpha =30^{\circ }$,
• $\beta =60^{\circ }$.

Használjuk a szinusztételt az $b$ oldal meghatározására:

$$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }.$$

Az értékek behelyettesítésével:

$$\frac{8}{\sin 30^{\circ }}=\frac{b}{\sin 60^{\circ }}.$$

Tudva, hogy $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$ és $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, kapjuk:

$$\frac{8}{\frac{1}{2}}=\frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}}⟹16=\frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}}.$$

Ebből:

$$b=16\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}.$$

---

Összefoglalás

A **szinusztétel** a háromszög oldalainak és szögeinek szinuszai közötti kapcsolatot fejezi ki, és alapvető szerepet játszik a háromszögek kiszámításában. A bizonyítás a köré írható kör tulajdonságaira és a szinusz definíciójára épül.