Szentpétervári paradoxon

1. Sablon:Label A szentpétervári paradoxon (vagy más néven Szentpétervári játék) egy híres probléma a valószínűségelmélet területén, amelyet először Daniel Bernoulli fogalmazott meg 1738-ban. A paradoxon egy olyan szerencsejátékot ír le, amelyben egy résztvevő korlátlan összeget nyerhet, de a részvétel ára és a várható nyereség közötti ellentmondás miatt a játék természetéből adódóan mégsem tűnik racionálisnak.

A játék menete: - Egy pénzérmét dobálnak. - Az első fej eredmény után a játékos a játékot megnyeri, és a nyeremény a dobások számától függ. - Ha az első fej az $n$-edik dobásra jön ki, akkor a játékos $2^n$ pénzösszeget nyer.

A várható érték számítása: A várható nyereményt a következőképpen lehet kiszámítani: - Az első fej $n$-edik dobásra való megjelenésének valószínűsége $\frac{1}{2^n}$. - Ha ez megtörténik, a játékos $2^n$-t nyer.

Így a várható érték: $$\text{Várható érték}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}\cdot 2^n=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}1=\mathrm{\infty }$$ Ez azt jelenti, hogy a játék elméleti várható nyeresége végtelen.

A paradoxon: Bár a játék várható értéke végtelen, a gyakorlatban az emberek mégis csak egy viszonylag alacsony összeget hajlandók fizetni a részvételért, mondjuk néhány dollárt. Ez a különbség a várható érték és az emberek által ténylegesen felajánlott összeg között adja a paradoxont.

A paradoxon rámutat arra, hogy a várható érték nem mindig a legjobb mérőszám a döntések meghozatalához, különösen akkor, ha a lehetséges kimenetelek extrém különbségeket mutatnak. Sablon:Hunl