Számelmélet alaptétele

Sablon:Matematika Minden egynél nagyobb egész szám előáll prímszámok szorzataként. Ez az előállítás a prímtényezők sorrendjétől eltekintve egyértelmű.

Számelmélet alaptétele

A **számelmélet alaptétele** azt mondja ki, hogy minden 1-nél nagyobb természetes szám egyértelműen felbontható prímek szorzataként, a tényezők sorrendjétől eltekintve. Ez a tétel a számelmélet egyik legfontosabb alaptétele, és alapvető szerepet játszik az egész számok elméletében.

A tétel megfogalmazása

Számelmélet alaptétele: Minden $n \in ℕ$ , ahol $n > 1$ , létezik olyan pozitív egész $k$ , és léteznek olyan prímek $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{k}$ , hogy $n = p_{1}^{e_{1}} \cdot p_{2}^{e_{2}} \cdot \dots \cdot p_{k}^{e_{k}},$ ahol $e_{1}, e_{2}, \dots, e_{k}$ pozitív egészek. Ez a felbontás egyértelmű, azaz az $e_{i}$ -k és a $p_{i}$ -k meghatározottak, a tényezők sorrendjétől eltekintve.

A bizonyítás vázlata

A bizonyítás két részből áll: a létezés és az egyértelműség bizonyításából.

1. A létezés bizonyítása

Az indukció módszerével igazolható:

Báziseset: $n = 2$ , amely önmagában prím.
Indukciós lépés: Tegyük fel, hogy minden $n$ természetes számra, ahol $1 < n < k$ , igaz a tétel. Vizsgáljuk $k$ -t:

 * Ha  $k$  prím, akkor nincs további teendő, mert  $k$  már prímek szorzataként írható fel.
 * Ha  $k$  nem prím, akkor  $k$ -t felírhatjuk két  $a$  és  $b$  egész szám szorzataként ( $k = a \cdot b$ ), ahol  $1 < a, b < k$ . Az indukciós feltevés szerint  $a$  és  $b$  prímek szorzataként felbonthatók, így  $k$  is az.

2. Az egyértelműség bizonyítása

Feltesszük, hogy létezik egy szám, például $n$ , amely két különböző módon bontható fel prímek szorzataként: $n = p_{1}^{e_{1}} \cdot p_{2}^{e_{2}} \cdot \dots \cdot p_{k}^{e_{k}} = q_{1}^{f_{1}} \cdot q_{2}^{f_{2}} \cdot \dots \cdot q_{m}^{f_{m}},$ ahol $p_{i}$ és $q_{j}$ különböző prímek. A számelmélet alaptulajdonságai szerint egy prím csak önmagával és $1$ -gyel osztható. Ezért a két felbontásnak meg kell egyeznie, vagyis $k = m$ , $p_{i} = q_{i}$ , és $e_{i} = f_{i}$ minden $i$ -re.

Megjegyzések

A számelmélet alaptételének alkalmazásai közé tartozik a legnagyobb közös osztó és a legkisebb közös többszörös kiszámítása, a számelméleti függvények elemzése, valamint a modern titkosítási algoritmusok, például az RSA alapja.
A tétel szorosan kapcsolódik a prímszámok vizsgálatához és az egész számok struktúrájához.

Sablon:-ford-

Sablon:En: Sablon:T

Sablon:Hunl

Számelmélet alaptétele

Tartalomjegyzék