Sylow-tétel

1. Sablon:Label

Sylow-tételek

A **Sylow-tételek** az absztrakt algebra egyik alapvető eredményei, amelyek a véges csoportok struktúráját írják le, különösen a prímtényezők hatványainak szerepét vizsgálva. A tételeket Peter Ludwig Sylow bizonyította 1872-ben.

Alapfogalmak

Egy $G$ véges csoport rendje legyen $|G|=p^{k}m$, ahol:

• $p$ prím,
• $k\ge 0$,
• $m$ relatív prím $p$-hez ($\gcd (p,m)=1$).

A csoport egy $p$-Sylow részcsoportja olyan részcsoport, amelynek rendje $p^k$, azaz a legnagyobb $p$-hatvány, amely osztja $|G|$-t.

A Sylow-tételek

1. Létezési tétel Legyen $|G|=p^{k}m$, ahol $p$ egy prím és $\gcd (p,m)=1$. Ekkor létezik $G$-nek olyan részcsoportja, amelynek rendje $p^k$. Ezt a részcsoportot **p-Sylow részcsoportnak** nevezzük.

2. Konjugációs tétel A $G$ csoport bármely két $p$-Sylow részcsoportja konjugált egymással, azaz ha $P$ és $Q$ $p$-Sylow részcsoportok, akkor létezik $g\in G$, hogy: $gP{g}^{-1}=Q.$

3. Számossági tétel Legyen $n_p$ a $p$-Sylow részcsoportok száma $G$-ben. Ekkor: 1. $n_p$ osztja $m$-et (ahol $|G|=p^{k}m$), 2. $n_p\equiv 1(\mathrm{mod}p)$.

Magyarázat

A Sylow-tételek a következőket írják le: 1. **Létezés:** A csoportok mindig tartalmaznak bizonyos struktúrájú részcsoportokat, amelyek a rendjük alapján meghatározhatók. 2. **Konjugáció:** Ezek a részcsoportok bizonyos értelemben "ekvivalensek", azaz egymásba átvihetők a csoport konjugációs műveletével. 3. **Számosság:** A Sylow részcsoportok száma korlátos, és az oszthatósági szabályok szigorúan meghatározzák.

Példa

Vegyük a csoportot: $G=S_3$, a három elem permutációinak csoportját ($|S_3|=6$).

• $6=2^1\cdot 3^1$.
• **2-Sylow részcsoport:** Rendje $2^1=2$, például $\{e,(12)\}$.
• **3-Sylow részcsoport:** Rendje $3^1=3$, például $\{e,(123),(132)\}$.
• A Sylow-tételek alapján:

 * Léteznek $2$-Sylow és $3$-Sylow részcsoportok.
 * Minden $2$-Sylow részcsoport konjugált egymással, és minden $3$-Sylow részcsoport szintén konjugált.
 * $n_2\equiv 1(\mathrm{mod}2)$, $n_2$ osztója $3$, tehát $n_2=1$ vagy $3$. Itt $n_2=3$.

Alkalmazások

A Sylow-tételek számos fontos következménnyel bírnak a csoportelméletben:

• **Véges csoportok osztályozása:** Segítséget nyújt abban, hogy egy véges csoport szerkezete meghatározható legyen.
• **Egyszerű csoportok vizsgálata:** A Sylow-tételek alkalmazhatók annak bizonyítására, hogy egy adott csoport nem tartalmaz nem triviális normálosztókat.
• **Galois-elmélet:** A tétel alkalmazható a Galois-csoportok struktúrájának elemzésére, különösen véges testek felett.

További megjegyzések

• A Sylow-tételek fontos részét képezik a véges csoportelmélet alapeszköztárának.
• A Sylow részcsoportok számossági tulajdonságai gyakran segítenek eldönteni, hogy egy adott csoport melyik ismert csoporttal izomorf.
• A tételek általánosításai kiterjednek az infinitezimális csoportokra és Lie-csoportokra is.