Stokes-tétel

1. Sablon:Humatek

Stokes-tétel

Definíció

A **Stokes-tétel** a vektoranalízis egyik alapvető tétele, amely a görbementi integrálokat és a felületi integrálokat köti össze. A tétel általánosítja a Green-tételt háromdimenziós térbeli esetekre.

Sablon:Tétel ahol:

• $\mathrm{\nabla }\times 𝐅$: a vektormező forgása (rotációja),
• $𝐧$: az $S$ felület egységnyi normálvektora,
• $dS$: a felület differenciáleleme.

Tétel Állítása

A Stokes-tétel azt mondja ki, hogy a felület határán vett görbementi integrál ($\underset{C}{\int }𝐅\cdot d𝐫$) egyenlő a felületen a vektormező forgására vett felületi integrállal ($\underset{S}{\iint }(\mathrm{\nabla }\times 𝐅)\cdot 𝐧dS$).

Fontos Fogalmak

Görbementi integrál

- Az $\underset{C}{\int }𝐅\cdot d𝐫$ a $C$ görbe mentén vett vonalintegrált jelenti, amely kiszámítja a $𝐅$ vektormező $C$ menti "áramlását".

Felületi integrál

- Az $\underset{S}{\iint }(\mathrm{\nabla }\times 𝐅)\cdot 𝐧dS$ a vektormező forgásának a felületre vett fluxusát méri.

Rotáció ($\mathrm{\nabla }\times 𝐅$)

- A vektormező forgását adja meg, amely a lokális örvényességet írja le.

Egységnyi normálvektor ($𝐧$)

- Az $S$ felület orientációját adja meg.

Bizonyítás

1. Előkészítés

- A tétel bizonyítása során a felületet kis elemi darabokra bontjuk, és alkalmazzuk a Green-tételt ezekre a darabokra.

2. Paraméterezés

- Paraméterezzük a $S$ felületet egy $𝐫(u,v)$ függvénnyel: $$𝐫(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),$$ ahol $(u,v)$ a felület paraméterei, és $𝐫$ differenciálható.

3. Rotáció felületi integráljának levezetése

- Az $\mathrm{\nabla }\times 𝐅$-ra vett felületi integrál a paraméterezéssel: $$\underset{S}{\iint }(\mathrm{\nabla }\times 𝐅)\cdot 𝐧dS=\underset{D}{\iint }(\mathrm{\nabla }\times 𝐅)\cdot ({𝐫}_u\times {𝐫}_v)dudv,$$ ahol ${𝐫}_u$ és ${𝐫}_v$ a paraméterek szerinti parciális deriváltak.

4. Görbementi integrálra történő visszavezetés

- A felület minden elemi darabján a Green-tételt alkalmazva megmutatható, hogy a görbementi integrál a felület határára vett felületi integrálokkal egyezik meg: $$\underset{C}{\int }𝐅\cdot d𝐫=\underset{S}{\iint }(\mathrm{\nabla }\times 𝐅)\cdot 𝐧dS.$$

5. Összegzés

- Az elemi felületrészekre végzett integrálok összege pontosan megegyezik a teljes felület integráljával, így a Stokes-tétel igaz.

Példák

Példa 1: Egyszerű kör alakú görbe

- Legyen $C$ az $x^2+y^2=1$ körvonal az $xy$-síkon, és $𝐅=(-y,x,0)$. - Számítsuk ki:

 * $\underset{C}{\int }𝐅\cdot d𝐫$ (görbementi integrál),
 * $\underset{S}{\iint }(\mathrm{\nabla }\times 𝐅)\cdot 𝐧dS$ (felületi integrál).

- A számítások után mindkét érték $2\pi$-vel egyenlő.

Példa 2: Felület határgörbéje

- Legyen $S$ egy síklap az $xy$-síkon, amelyet az $x^2+y^2=1$ kör határol. - Ha $𝐅=(y,-x,z)$, akkor a görbementi integrál kiszámítása után: $$\underset{C}{\int }𝐅\cdot d𝐫=\underset{S}{\iint }(\mathrm{\nabla }\times 𝐅)\cdot 𝐧dS.$$

Fontos Következmények

1. **Green-tétel általánosítása**:

  - A Stokes-tétel a Green-tétel háromdimenziós általánosítása.

1. **Maxwell-egyenletek**:

  - A Maxwell-féle elektromágneses tér egyenletei a Stokes-tétel segítségével vezethetők le integrális alakban.

1. **Fizikai alkalmazások**:

  - Hidrodinamikában és aerodinamikában a forgás és az áramlások vizsgálatára használják.

Összegzés

A **Stokes-tétel** egyesíti a görbementi és a felületi integrálokat, mély kapcsolatot teremtve a helyi és globális jelenségek között. Ez az alapvető matematikai tétel számos alkalmazással rendelkezik a fizikában és a mérnöki tudományokban, különösen a vektormezők analízisében.

• Sablon:En: Sablon:T