Standard normális eloszlás

1. Sablon:Label A standard normális eloszlás egy különleges eset a normális eloszlás családjában, amelyet a következő jellemzőkkel definiálunk:

- Átlag ($\mu$): 0 - Szórás ($\sigma$): 1

A standard normális eloszlást általában $Z$ véletlen változóval jelölik, és a valószínűségi sűrűségfüggvénye a következőképpen alakul:

Valószínűségi sűrűségfüggvény (PDF):

A standard normális eloszlás sűrűségfüggvénye:

$$f(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{z^2}{2}}$$

ahol $z$ a standard normális változó.

Eloszlásfüggvény (CDF):

A standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye, amely megadja, hogy egy $Z$ véletlen változó milyen valószínűséggel veszi fel a $z$ értéket vagy kisebbet:

$$P(Z\le z)=\mathrm{\Phi }(z)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{z}{\int }}f(t)dt$$

Jellemzők:

1. Szimmetrikus eloszlás: A standard normális eloszlás szimmetrikus a $z=0$ tengely körül, így a negatív és pozitív értékek valószínűségei megegyeznek.

2. 68-95-99.7 szabály: A standard normális eloszlásra vonatkozóan: - Kb. 68 - Kb. 95 - Kb. 99.7

Átmenet a normális eloszlásra:

Bármely normális eloszlás, amely átlaggal ($\mu$) és szórással ($\sigma$) rendelkezik, standardizálható a következő képlettel:

$$Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$$

ahol $X$ a normálisan eloszlott változó. Ezáltal a normális eloszlás bármely $X$ értéke átalakítható egy $Z$ értékké, amely a standard normális eloszlásba illeszkedik.

Alkalmazások:

- Statikai tesztek: A standard normális eloszlást széles körben használják a statisztikai hipotézisvizsgálatokban és a konfidencia intervallumok meghatározásában. - Z-táblázatok: A standard normális eloszlás valószínűségeit gyakran táblázatokban adják meg, amelyeket a statisztikai elemzés során használhatunk.

Összegzés:

A standard normális eloszlás alapvető szerepet játszik a statisztikai elemzésben és a valószínűségi modellezésben, mivel lehetővé teszi a normálisan eloszlott adatok egyszerűbb vizsgálatát és értelmezését. Sablon:Hunl