Standard eltérés

1. Sablon:Label A standard eltérés (vagy szórás) egy statisztikai mutató, amely a valószínűségi változó értékeinek szóródását méri a várható érték (átlag) körül. A szórás megmutatja, hogy az adatok mennyire térnek el az átlagos értéktől, és segít megérteni a mintában lévő variabilitás mértékét.

Képletek

Populáció standard eltérése

Ha a teljes populáció adatai ismertek, a populáció standard eltérés ($\sigma$) a következőképpen számolható:

$$\sigma =\sqrt{\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(X_i-\mu {)}^2}$$

ahol: - $N$ a populáció elemszáma, - $X_i$ az egyes megfigyelések, - $\mu$ a populáció várható értéke.

Minta standard eltérése

Ha csak egy mintát vizsgálunk, akkor a minta standard eltérés ($s$) a következő képlettel számolható:

$$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2}$$

ahol: - $n$ a minta elemszáma, - $X_i$ az egyes megfigyelések, - $\overline{X}$ a minta átlagos értéke.

Példa

Tegyük fel, hogy egy minta 5 értéke a következő: 4, 8, 6, 5, 7.

1. Minta átlagának kiszámítása: $$\overline{X}=\frac{4+8+6+5+7}{5}=6$$

2. Eltérések négyzete: - $(4-6{)}^2=4$ - $(8-6{)}^2=4$ - $(6-6{)}^2=0$ - $(5-6{)}^2=1$ - $(7-6{)}^2=1$

3. Négyzetek összege: $$4+4+0+1+1=10$$

4. Minta standard eltérés kiszámítása: $$s=\sqrt{\frac{10}{5-1}}=\sqrt{2.5}\approx 1.58$$

Jellemzők

- Érzékenység: A szórás érzékeny a kiugró értékekre, amelyek jelentősen befolyásolhatják az eredményt. - Unitérizálás: A szórás az adatok mértékegységében van kifejezve, ami megkönnyíti a különböző minták összehasonlítását. - Alkalmazás: A szórást széles körben használják a statisztikában, az adatelemzésben, a minőségellenőrzésben és más területeken.

Összegzés

A standard eltérés (szórás) fontos statisztikai mutató, amely a változók szóródását méri a várható érték körül. A minta szórásának és a populáció szórásának kiszámítása lehetővé teszi a minták közötti variabilitás összehasonlítását, és segít a különböző statisztikai elemzésekben. Sablon:Hunl