Riemann-összeg

1. Sablon:Matematika A Riemann-összeg a matematikában egy integrál közelítésére szolgáló módszer, amely véges összegekből áll. A XIX. századi német matematikus, Bernhard Riemann nevét viseli. A Riemann-összegek széles körben alkalmazhatók a numerikus integrálásban, például a görbék alatti terület közelítésére, ahol a „téglalap szabály” néven is ismert.

A Riemann-összeg definíciója

A Riemann-összeg egy függvény $f(x)$ által meghatározott görbe alatti terület közelítésére szolgál a $[a,b]$ intervallumon. Az intervallumot $n$ azonos szélességű részintervallumra osztják, ahol $\mathrm{\Delta }x=\frac{b-a}{n}$. Az egyes részintervallumokon belüli kiválasztott pontoktól függően a Riemann-összeg különböző formákat ölthet:

1. Bal oldali Riemann-összeg: A részintervallumok bal végpontját használja: $$S_L=\sum _{i=0}^{n-1}f(a+i\mathrm{\Delta }x)\mathrm{\Delta }x$$

2. Jobb oldali Riemann-összeg: A részintervallumok jobb végpontját használja: $$S_R=\sum _{i=1}^{n}f(a+i\mathrm{\Delta }x)\mathrm{\Delta }x$$

3. Középpontos Riemann-összeg: A részintervallumok középpontját használja: $$S_M=\sum _{i=0}^{n-1}f(a+(i+\frac{1}{2})\mathrm{\Delta }x)\mathrm{\Delta }x$$

Alkalmazások

- Numerikus integrálás: A Riemann-összegek alapvető szerepet játszanak a numerikus módszerekben, mint például a trapéz módszer és a Simpson-módszer, amelyek pontosabb integrálközelítéseket nyújtanak.

- Görbék alatti terület: A Riemann-összegek alkalmazásával közelíthetjük a görbe alatti területet, ami különösen hasznos szabálytalan alakzatok esetén.

- Görbék hossza: A Riemann-összegeket a görbék hosszának közelítésére is használhatjuk, a görbén lévő pontok közötti szakaszok hosszának összegzésével.

- Általánosítások: A koncepció kiterjeszthető magasabb dimenziókra is, ami dupla és tripla integrálokhoz vezet, amelyek szintén közelíthetők Riemann-összegekkel.

Következtetés

A Riemann-összegek alapvető szerepet játszanak a teoretikus és alkalmazott matematikában, hidat képezve a diszkrét és a folytonos matematika között. Ahogy a részintervallumok száma $n$ nő (és így $\mathrm{\Delta }x$ csökken), a Riemann-összeg közelít a tényleges integrál értékéhez, bemutatva a summák és integrálok közötti alapvető kapcsolatot a kalkulusban. Sablon:-ford-

• Sablon:En: Sablon:T
• Sablon:Ru: Sablon:T