Rendezett minta p-edrendű kvantilise

1. Sablon:Label A rendezett minta $p$-edrendű kvantilise (más néven $p$-edik kvantilis) egy olyan statisztikai érték, amely megmutatja az adataink eloszlását. A $p$-edik kvantilis az adathalmazon belül a mintákat egy adott arányú részre osztja. A $p$ értéke egy valós szám, amely 0 és 1 között mozog, ahol:

• $p=0.5$: a medián (a középső érték),
• $p=0.25$: az alsó kvartilis (Q1),
• $p=0.75$: a felső kvartilis (Q3),
• stb.

Definíció

Legyen $x_1,x_2,\dots ,x_n$ egy rendezett minta, ahol $n$ a minta elemszáma. A $p$-edik kvantilis $x_{(k)}$ értékét a következőképpen határozzuk meg:

1. Számítsuk ki az indexet: $$k=p\cdot (n-1)+1$$

2. Ha $k$ egész szám: A $p$-edik kvantilis a rendezett minta $k$-edik eleme: $$Q_p=x_{(k)}$$

3. Ha $k$ nem egész szám: Használjuk az alábbi képletet: - Legyen $k^{\prime }=\lfloor k\rfloor$ (az egész része) - Legyen $d=k-k^{\prime }$ (a törtrésze) $$Q_p=x_{(k^{\prime })}+d\cdot (x_{(k^{\prime }+1)}-x_{(k^{\prime })})$$

Példa

Tegyük fel, hogy van egy rendezett minta: $$x=[3,5,7,8,10]$$ Itt $n=5$.

1. Alsó kvartilis ($p=0.25$): $$k=0.25\cdot (5-1)+1=1.25\Rightarrow k^{\prime }=1,d=0.25$$ $$Q_{0.25}=x_{(1)}+0.25\cdot (x_{(2)}-x_{(1)})=3+0.25\cdot (5-3)=3+0.5=3.5$$

2. Medián ($p=0.5$): $$k=0.5\cdot (5-1)+1=3$$ $$Q_{0.5}=x_{(3)}=7$$

3. Felső kvartilis ($p=0.75$): $$k=0.75\cdot (5-1)+1=4.25\Rightarrow k^{\prime }=4,d=0.25$$ $$Q_{0.75}=x_{(4)}+0.25\cdot (x_{(5)}-x_{(4)})=8+0.25\cdot (10-8)=8+0.5=8.5$$

Összegzés

A rendezett minta $p$-edrendű kvantilise segít megérteni az adataink eloszlását, és fontos eszköz a statisztikai elemzésben. A kvantilisek információt adnak a minta középpontjairól, a szélső értékekről és az eloszlás szimmetriájáról. Sablon:Hunl