Ramsey-tétel

1. Sablon:Label Ha $r,k_1,\dots ,k_s$ pozitív egész számok, akkor van olyan (legkisebb) $R_r(k_1,\dots ,k_s)$ pozitív egész szám, hogy igaz a következő állítás: ha tetszőleges S halmazra $|S|=R_r(k_1,\dots ,k_s)$ és S összes r elemű részhalmazának halmazát s részre bontjuk (s színnel színezzük) akkor valamelyik i-re igaz, hogy van az alaphalmaznak olyan $k_i$-elemű részhalmaza, aminek összes r elemű részhalmaza az i-edik osztályba esik (i-edik színt kapja).

---

Ramsey-tétel

Definíció

A Ramsey-tétel a kombinatorika és a gráfelmélet egyik alapvető tétele, amely kimondja, hogy a teljes káosz sem létezik: egy elég nagy struktúrában mindig megfigyelhető bizonyos rendezettség. A tétel általános formában az alábbiakat mondja ki:

Speciális esetek

1. Két színnel ($r=2$):

  Ha $n$ elég nagy, akkor a $K_n$ teljes gráf éleinek $2$ színnel történő színezésénél mindig létezik egy $K_k$ teljes részgrafikon, amelynek minden éle ugyanazzal a színnel van színezve.

1. Ramsey-számok ($R(k_1,k_2,\dots ,k_r)$):

  Az $R(k_1,k_2,\dots ,k_r)$ Ramsey-szám a legkisebb olyan $n$, amelyre teljesül, hogy a $K_n$ gráf $r$-féle színnel történő élszínezésénél biztosan található egy $K_{k_i}$ teljes részgrafikon, amelynek minden éle ugyanazzal a színnel van színezve (legalább egy $i$-re).

Példa

Két színnel ($r=2$) és $k=3$

Ha $n=6$, akkor bármely $K_6$ teljes gráf éleinek két színnel történő színezésénél mindig található egy $K_3$ (három csúcsú teljes gráf), amelynek minden éle azonos színű. Ez azt jelenti, hogy $R(3,3)=6$.

Ramsey-tétel Bizonyítása

1. Két szín és $k=3$ esete

Legyen a $K_n$ teljes gráf élei piros és kék színnel színezve.

1. Válasszunk egy $v$ csúcsot a $K_n$-ből.
2. Tekintsük a $v$-ből kiinduló éleket:

  - Ha $v$-ből $k$-nál több él van egyetlen színnel, akkor a kapcsolódó csúcsok között biztosan található egy $K_k$ ugyanazzal a színnel.

1. Ha nincs ilyen, akkor a $n$-hez viszonyított $k$ csúcs között létezik egy homogén $K_k$ részgrafikon.

Ez a gondolatmenet általánosítható nagyobb $k$ és több szín esetére.

2. Általános eset ($r$-féle szín)

A bizonyítás erős indukcióval történik.

1. Alapindukció ($k=2$):

  Ekkor az $R(2,2,\dots ,2)=2$ triválisan teljesül.

1. Indukciós lépés:

  Tegyük fel, hogy a tétel igaz $k-1$-re. Bizonyítsuk be $k$-ra.
  ## Válasszunk egy $n$-et elég nagynak, hogy $R(k-1,k-1,\dots ,k-1)$ teljesüljön.
  ## Ha egy adott csúcsból kiinduló éleket $r$-féle színnel színezzük, akkor bármely színből található egy homogén $K_{k-1}$ részgrafikon, amely tovább bővíthető $k$-ra.

Ez garantálja, hogy $R(k,k,\dots ,k)$ is igaz.

Ramsey-számok és Példák

1. $R(3,3)=6$: Hat csúcsú gráfban két színnel színezve biztosan található egy három csúcsú homogén részgrafikon.
2. $R(4,4)=18$: Legalább 18 csúcsú gráf szükséges, hogy két színnel színezve biztosan találjunk egy négy csúcsú homogén részgrafikont.

Ramsey-számok Alsó és Felső Korlátai

1. $R(k,k)\le 4^{k/2}$: Az upper bound exponenciális.
2. Az alsó korlát sokkal kisebb, és a pontos értékek meghatározása általában nehéz.

Alkalmazások

1. Kombinatorika:

  - Nagyméretű gráfok szerkezetének elemzése.

1. Számítástechnika:

  - Hálózati kapcsolatok és konfigurációk optimalizálása.

1. Matematikai logika:

  - Rendezettség és struktúrák elemzése.

Összegzés

A Ramsey-tétel a kombinatorika egyik legfontosabb eredménye, amely garantálja, hogy elég nagy struktúrákban mindig van bizonyos rendezettség. A tétel mély matematikai és gyakorlati jelentőséggel bír a gráfelméletben, a számítástechnikában és a matematikai logikában.

• Sablon:En: Sablon:T
• Sablon:Ru: Sablon:T