Ptolemaiosz-tétel

1. Sablon:Humatek Egy húrnégyszögben a szemközti oldalak szorzatainak összege megegyezik az átlók szorzatával.

---

Ptolemaiosz-tétel

A **Ptolemaiosz-tétel** az euklideszi geometria egyik híres tétele, amely a körbe írt négyszögek oldalai és átlói közötti kapcsolatot írja le.

Tétel

Ha egy négyszög körbe írt (azaz minden csúcsára illeszkedik egy kör), akkor a négyszög oldalaira és átlóira a következő egyenlőség teljesül:

$$AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD,$$

ahol:

• $AB,BC,CD,AD$ a négyszög oldalai,
• $AC,BD$ a négyszög átlói.

---

Bizonyítás

1. Körbe írt négyszög feltétele

Egy négyszög akkor és csak akkor körbe írt, ha minden csúcsára illeszkedik egy kör. Jelöljük a kör középpontját $O$-val. A körbe írt négyszög esetén a szemközti szögek összege $180^{\circ }$, vagyis:

$$\mathrm{\angle }ABC+\mathrm{\angle }CDA=180^{\circ }.$$

---

2. Koszinusztétel alkalmazása

Tekintsük a körbe írt négyszög $ABCD$-t, és használjuk a koszinusztételt a háromszögekben.

1. A $\mathrm{△}ABC$-re a koszinusztétel szerint: $$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos (\mathrm{\angle }ABC).$$

2. A $\mathrm{△}ADC$-re a koszinusztétel szerint: $$A{C}^2=A{D}^2+C{D}^2-2\cdot AD\cdot CD\cdot \cos (\mathrm{\angle }CDA).$$

---

3. Szögek kapcsolata

A körbe írt négyszög tulajdonságából következik, hogy:

$$\cos (\mathrm{\angle }ABC)=-\cos (\mathrm{\angle }CDA).$$

Ezért a két koszinusztételből származó egyenletet összeadhatjuk:

$$A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos (\mathrm{\angle }ABC)=A{D}^2+C{D}^2-2\cdot AD\cdot CD\cdot (-\cos (\mathrm{\angle }ABC)).$$

Ebből:

$$A{B}^2+B{C}^2+A{D}^2+C{D}^2=2\cdot (AB\cdot BC+AD\cdot CD)\cdot \cos (\mathrm{\angle }ABC).$$

---

4. Ptolemaiosz-tétel levezetése

Az átlók közötti kapcsolat a fenti egyenlet alapján kifejezhető. A körbe írt négyszög definíciója szerint a szemközti szögek kapcsolata biztosítja, hogy az egyenlőség fennmarad, így a végső forma:

$$AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD.$$

Ez bizonyítja a Ptolemaiosz-tételt.

---

Következmények

1. Ptolemaiosz-egyenlőtlenség: Ha egy négyszög nem körbe írt, akkor a következő egyenlőtlenség teljesül:

$$AC\cdot BD\ge AB\cdot CD+BC\cdot AD.$$

1. Speciális eset: Ha a négyszög téglalap, akkor $AC$ és $BD$ azonosak (az átlók egyenlők), így a tétel egyszerűen Pitagorasz-tételhez vezet.

---

Összefoglalás

A **Ptolemaiosz-tétel** a körbe írt négyszögek fontos geometriai tulajdonsága, amely az oldalak és átlók közötti szoros kapcsolatot fejezi ki. Ez a tétel számos alkalmazást talál az euklideszi geometria és a trigonometria különböző területein.

• Sablon:En: Sablon:T