Pohlke-tétel

1. Sablon:Label

Pohlke-tétel

A **Pohlke-tétel** a műszaki rajz és a geometria alapvető tétele, amely kimondja, hogy minden térbeli háromszög tetszőleges alakú vetülete megfelelő elforgatással és méretarányos torzítással elérhető. Ez az axonometrikus ábrázolás elméleti alapja.

A tétel megfogalmazása

A **Pohlke-tétel** kimondja:

Bármely három adott, nem kollineáris síkbeli vektornak van olyan térbeli megfelelője, hogy ezek vetülete egy adott (rögzített) vetítési irányban pontosan a három adott síkbeli vektor legyen.

Formálisan:

• Legyen adott három, síkban fekvő vektor: ${𝐮}_1,{𝐮}_2,{𝐮}_3\in {ℝ}^2$.
• Ekkor létezik három térbeli vektor ${𝐯}_1,{𝐯}_2,{𝐯}_3\in {ℝ}^3$, amelyek vetületei egy adott vetítési irány szerint megegyeznek az ${𝐮}_1,{𝐮}_2,{𝐮}_3$ síkbeli vektorokkal.

Magyarázat

A tétel az axonometrikus ábrázolás alapját képezi:

• Az axonometrikus ábrázolás célja, hogy egy háromdimenziós tárgyat kétdimenziós rajzon ábrázoljunk úgy, hogy a térbeli arányok és viszonyok megmaradjanak.
• A Pohlke-tétel garantálja, hogy tetszőleges három, síkban fekvő vektor vetítéssel előállítható egy háromdimenziós alakzatból.

Ez azt jelenti, hogy minden kétdimenziós vetülethez létezik legalább egy olyan térbeli konfiguráció, amely ezt a vetületet eredményezi.

Példa

Tegyük fel, hogy egy háromszög vetületét látjuk a síkon. A háromszög vetülete három vektorból áll, amelyek a síkbeli oldalakkal egyeznek meg.

• Ha a síkbeli vektorok:

 ${𝐮}_1=(2,1),{𝐮}_2=(1,-1),{𝐮}_3=(-3,0)$,

• akkor léteznek olyan térbeli vektorok, például:

 ${𝐯}_1=(2,1,1),{𝐯}_2=(1,-1,2),{𝐯}_3=(-3,0,0)$,

amelyek vetítései pontosan ${𝐮}_1,{𝐮}_2,{𝐮}_3$ lesznek.

Alkalmazások

A Pohlke-tétel széles körben alkalmazható a geometria és a műszaki ábrázolás területén:

• **Axonometrikus ábrázolás:** Háromdimenziós tárgyak kétdimenziós vetületeinek tervezése.
• **Műszaki rajz:** Gépek és szerkezetek térbeli geometriájának pontos ábrázolása.
• **Grafikai tervezés:** 3D modellek kétdimenziós vetületének kiszámítása.
• **Művészeti alkalmazások:** Perspektivikus ábrázolások konstruálása.

Megjegyzések

• A tétel alapja az, hogy a síkban lévő vektorok vetülete lineáris transzformációval kapcsolódik a térbeli vektorokhoz.
• A tétel nem garantálja az egyértelműséget: egy adott síkbeli vetülethez végtelen sok térbeli konfiguráció tartozhat.
• A Pohlke-tételt Johann Heinrich Pohlke fogalmazta meg a 19. században, és ez az ábrázoló geometria egyik alaptétele.