Picard-tétel

1. Sablon:Label A komplex analízisben Picard kis és nagy tétele két, egymáshoz kapcsolódó tétel, amelyek az analitikus függvények értékkészletét jellemzik. Émile Picard után nevezték el őket.

Állítások

Az exp(1⁄z) függvény ábrázolása, középpontban a lényeges szingularitás z = 0. A színárnyalat az exp(1⁄z) argumentumát, a fényesség az abszolútértéket jelenti. Látható, hogy a függvény a szingularitáshoz akármilyen közel minden nullától különböző értéket felvesz A kis Picard-tétel:

Ha f : C → C egészfüggvény, és nem konstans, akkor az értékkészlete teljes C, vagy C , kivéve egyetlen komplex számot.[1]

Ez a tétel Liouville tételének lényeges erősítése, ami csak annyit állít, hogy a képhalmaz nem lehet korlátos. Ezt a tételt később többféleképpen is belátták, és Schottky tétele ennek egy kvantitatív változata.

A nagy Picard-tétel:

Ha f analitikus, és egy w helyen lényeges szingularitása van, akkor w bármely pontozott környezetében minden értéket legfeljebb egyetlen kivétellel végtelenszer sokszor felvesz.[1]

Ez a Casorati–Weierstrass-tétel lényegi erősítése, ami csak annyit állít, hogy az értékkészlet sűrű a komplex síkon. Ebből következik, hogy nem polinom egészfüggvény minden értéket legfeljebb egy kivétellel végtelenszer sokszor felvesz.

---

Picard-tétel

A **Picard-tétel** az analitikus függvények elméletének egyik mély eredménye, amely azt írja le, hogy a teljes (azaz a teljes síkon holomorf) függvények miként viselkednek a komplex számok halmazán.

Két formája van: a **kis Picard-tétel** és a **nagy Picard-tétel**.

Kis Picard-tétel

Ha $f(z)$ egy nem konstans, teljes függvény, akkor $f(z)$ a komplex számok halmazán legfeljebb egyetlen értéket hagyhat el.

Magyarázat

Ez azt jelenti, hogy ha $f(z)$ nem konstans, akkor bármely $w\in ℂ$ számhoz (kivéve legfeljebb egyet) létezik olyan $z\in ℂ$, amelyre $f(z)=w$. Például az $e^z$ függvény nem veszi fel a 0 értéket, de minden más komplex számot igen.

Nagy Picard-tétel

Ha egy holomorf függvény $f(z)$ szingularitással rendelkezik az $a$ pontban, amely esszenciális szingularitás, akkor $f(z)$ az $a$ pont bármely környezetében végtelen sokszor felvesz minden lehetséges komplex értéket, kivéve legfeljebb egyet.

Magyarázat

A nagy Picard-tétel a függvény esszenciális szingularitásaira vonatkozik. Az esszenciális szingularitás azt jelenti, hogy a függvény viselkedése az adott pont körül kaotikus, és a lehetséges értékek halmaza majdnem az egész komplex síkot lefedi.

Példa

Az $e^{1/z}$ függvény az $z=0$ pontban esszenciális szingularitással rendelkezik. A nagy Picard-tétel szerint az $e^{1/z}$ függvény a 0 pont körüli bármely kis környezetben végtelen sokszor felveszi minden komplex értéket, kivéve legfeljebb egyet (ebben az esetben 0).

A kis Picard-tétel bizonyítása

A bizonyítás Riemann-féle felületek és nagy komplex analízis technikák alkalmazását igényli, de a fő lépései a következők:

1. **Teljes függvény tulajdonságai:** Ha $f(z)$ nem konstans és teljes, akkor holomorf az egész komplex síkon, és a Liouville-tétel szerint nem lehet korlátos.

2. **Értékelkerülés:** Ha $f(z)$ kihagy két különböző értéket $w_1,w_2\in ℂ$, akkor a $g(z)=\frac{f(z)-w_1}{f(z)-w_2}$ függvény szintén holomorf és nem konstans, de a komplex síkon véges, ami ellentmond a Liouville-tételnek.

3. **Következmény:** Ez bizonyítja, hogy $f(z)$ legfeljebb egyetlen értéket hagyhat el.

A nagy Picard-tétel bizonyítása

A bizonyítás bonyolultabb, és az alábbi elemeket használja:

1. **Esszenciális szingularitás definíciója:** A Casorati–Weierstrass-tétel szerint egy esszenciális szingularitás körül a függvény közelítőleg minden értéket felvesz.

2. **Normált értékelés:** Az $f(z)$ függvényt megfelelően normalizálják, hogy a szingularitás tulajdonságait kiemeljék.

3. **Montel-tétel:** Ez a kompakt halmazok tulajdonságait használja, hogy igazolja, hogy minden értéket (kivéve legfeljebb egyet) végtelen sokszor felvesz.

Következmények

A Picard-tételek mély kapcsolatot mutatnak a komplex analízis, az értékelkerülési problémák és az esszenciális szingularitások kaotikus viselkedése között. Az eredmények fontosak a holomorf függvények elméletében és az algebrai geometriában is.

• Sablon:En: Sablon:T