Paraméterek statisztikai becslései

1. Sablon:Label A paraméterek statisztikai becslése olyan módszerek összessége, amelyekkel egy populáció jellemzőit (például a várható értéket, szórást vagy arányt) becsüljük a minta alapján. A becslés lehet pontbecslés vagy intervallumbecslés.

1. Pontbecslés A pontbecslés egyetlen értéket ad meg a populáció paraméterére. A leggyakoribb pontbecslők:

- Átlag becslése: A mintaátlag ($\overline{x}$) használható a populáció várható értékének ($\mu$) becslésére. $$\hat{\mu }=\overline{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$

- Szórás becslése: A minta szórása ($s$) használható a populáció szórásának ($\sigma$) becslésére. $$\hat{\sigma }=s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2}$$

- Arány becslése: A minta aránya ($\hat{p}$) használható a populáció arányának ($p$) becslésére. $$\hat{p}=\frac{k}{n}$$ ahol $k$ az adott tulajdonsággal rendelkező elemek száma, és $n$ a minta elemszáma.

2. Intervallumbecslés Az intervallumbecslés a paraméter egy olyan tartományát adja meg, amely nagy valószínűséggel tartalmazza a becsült értéket, egy adott konfidenciaszinten belül. Például a konfidenciaszint 95% lehet.

- Konfidenciaintervallum a várható értékre: Ha ismerjük a populáció szórását, akkor a várható érték konfidenciaintervalluma a következő formában írható fel: $$\overline{x}\pm z_{\alpha /2}\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$ ahol $z_{\alpha /2}$ a standard normális eloszlás megfelelő kvantilise.

Ha a szórás nem ismert, akkor a Student-féle t-eloszlást használjuk: $$\overline{x}\pm t_{\alpha /2,n-1}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$$

- Konfidenciaintervallum az arányra: A populáció arányának konfidenciaintervalluma a következőképpen becsülhető: $$\hat{p}\pm z_{\alpha /2}\cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$

- Konfidenciaintervallum a szórásra: A populáció szórásának becslésére a khi-négyzet eloszlást használjuk: $$(\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{\alpha /2,n-1}^2}},\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{1-\alpha /2,n-1}^2}})$$ ahol ${\chi }_{\alpha /2,n-1}^2$ és ${\chi }_{1-\alpha /2,n-1}^2$ a khi-négyzet eloszlás megfelelő kvantilisei.

3. Becslési módszerek - Maximum likelihood (ML) becslés: Olyan paraméterértéket keres, amely a legvalószínűbbé teszi a megfigyelt adatokat. A módszer a valószínűségi függvény maximalizálásán alapul.

- Legkisebb négyzetek módszere: Főként regressziós elemzésekben használatos. A módszer olyan paramétereket keres, amelyek minimalizálják a becslések és a megfigyelt értékek közötti négyzetes eltérést.

- Bayes-i becslés: A Bayes-tétel alkalmazásával ad becslést, figyelembe véve a prior valószínűségeket és a minta alapján frissített információkat.

A paraméterek statisztikai becslése alapvető szerepet játszik az adatgyűjtés és elemzés folyamatában, mivel lehetővé teszi a populáció jellemzőinek meghatározását a minta alapján, segítve az általánosításokat és a döntéshozatalt. Sablon:Hunl