Newton-Leibniz-tétel

1. Sablon:Label az analízis alaptétele

Legyen f integrálható [a,b]-ben. Ha az F függvény folytonos [a,b]-ben, differenciálható (a,b)-ben és F'(x)=f(x) minden $x\in (a,b)$-re, akkor

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=F(b)-F(a)$.

---

Newton–Leibniz-tétel

Definíció

A **Newton–Leibniz-tétel** a matematikai analízis egyik alapvető tétele, amely a deriválás és az integrálás közötti kapcsolatot írja le. A tétel kimondja:

> Ha \( f(x) \) folytonos az \( [a, b] \) intervallumon, és létezik egy \( F(x) \) primitív függvénye (\( F'(x) = f(x) \)), akkor:

>

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=F(b)-F(a).$

Ez azt jelenti, hogy egy folytonos függvény határozott integrálja az adott intervallumon a primitív függvényének végpontokban vett értékei különbsége.

Fogalmak

Primitív függvény

- Egy \( F(x) \) függvény primitív függvénye \( f(x) \)-nek az \( [a, b] \) intervallumon, ha: $$F^{\prime }(x)=f(x),\mathrm{\forall }x\in [a,b].$$

Határozott integrál

- Egy \( f(x) \) folytonos függvény határozott integrálja az \( [a, b] \) intervallumon: $$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f(x_i^{*})\mathrm{\Delta }x,$$ ahol \( x_i^* \) a részintervallumon választott pont.

Bizonyítás

1. Indulás a deriválás és integrálás kapcsolatából

A Newton-Leibniz-tétel a következő alapösszefüggésből származtatható: - Ha \( F'(x) = f(x) \), akkor az integrálás a deriválás fordított művelete.

2. Alapvető kapcsolat az integrál és a primitív függvény között

Tekintsünk egy \( f(x) \) folytonos függvényt az \( [a, b] \) intervallumon, és legyen \( F(x) \) primitív függvénye (\( F'(x) = f(x) \)).

1. A határozott integrál definíciója alapján:

$$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f(x_i^{*})\mathrm{\Delta }x.$$

1. Legyen az \( [a, b] \) intervallum felosztása:

$$a=x_0<x_1<\dots <x_n=b,\mathrm{\Delta }x=\frac{b-a}{n}.$$

1. A \( F(x) \) folytonosságát felhasználva:

$$F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^n(F(x_i)-F(x_{i-1})).$$

1. Mivel \( F'(x) = f(x) \), a differenciálási szabály alapján:

$$F(x_i)-F(x_{i-1})\approx f(x_i^{*})\mathrm{\Delta }x,$$ ahol \( x_i^* \in [x_{i-1}, x_i] \).

1. Így az összeg kifejezés határértéke:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f(x_i^{*})\mathrm{\Delta }x=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx.$$

3. Következtetés

A fenti levezetések alapján: $$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=F(b)-F(a).$$

Példák

1. **Egyszerű határozott integrál:**

  Számítsuk ki \( \int_0^2 x^2 \, dx \)-et.
  - A \( x^2 \) primitív függvénye: \( F(x) = \frac{x^3}{3} \).
  - Alkalmazva a Newton-Leibniz-tételt:
  $\underset{0}{\overset{2}{\int }}{x}^{2}dx=F(2)-F(0)=\frac{2^3}{3}-\frac{0^3}{3}=\frac{8}{3}.$

1. **Trigonometrikus integrál:**

  Számítsuk ki \( \int_0^{\pi} \sin(x) \, dx \)-et.
  - A \( \sin(x) \) primitív függvénye: \( F(x) = -\cos(x) \).
  - Alkalmazva a Newton-Leibniz-tételt:
  $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin (x)dx=-\cos (\pi )-(-\cos (0))=-(-1)-(-1)=2.$

Python Implementáció

from sympy import symbols, integrate

# Változó definiálása
x = symbols('x')

# Függvény és intervallum
f = x**2  # Függvény
a, b = 0, 2  # Intervallum

# Határozott integrál kiszámítása
result = integrate(f, (x, a, b))
print(f"Határozott integrál: ∫[{a}, {b}] {f} dx = {result}")

Kimenet

Határozott integrál: ∫[0, 2] x**2 dx = 8/3

Alkalmazások

1. Fizikai problémák: Terület, térfogat és munka kiszámítása.
2. Sebesség és távolság: Sebesség függvény integrálásával kiszámítható az elmozdulás.
3. Valószínűségelmélet: Folytonos valószínűségi változók eloszlásfüggvényeinek kiszámítása.

Összegzés

A **Newton-Leibniz-tétel** a matematikai analízis egyik központi tétele, amely a deriválás és az integrálás közötti kapcsolatot formalizálja. Ez a tétel egyszerűsíti a határozott integrálok számítását a primitív függvények segítségével. Gyakorlati alkalmazásai széles körben elterjedtek a mérnöki tudományokban, a fizikában és az adatfeldolgozásban.

• Sablon:En: Sablon:T
• Sablon:Ru: Sablon:T