Nash-egyensúly

1. Sablon:Lbl

Nash-egyensúly

Definíció

A **Nash-egyensúly** a játékelmélet egyik alapvető fogalma, amely John Nash munkásságából származik. Egy Nash-egyensúlyban minden szereplő stratégiája optimális, figyelembe véve a többiek stratégiáját. Más szavakkal:

• Egy játékos sem tudja javítani a saját eredményét azáltal, hogy egyoldalúan megváltoztatja a stratégiáját.

Formális Meghatározás

Egy $n$-szereplős játékban, ahol a játékosok stratégiái $S_1,S_2,\dots ,S_n$, és a játékosok kifizetési függvényei $u_1,u_2,\dots ,u_n$: Egy $(s_1^{*},s_2^{*},\dots ,s_n^{*})$ stratégiahalmaz Nash-egyensúly, ha minden $i$-re teljesül: $u_i(s_1^{*},s_2^{*},\dots ,s_i^{*},\dots ,s_n^{*})\ge u_i(s_1^{*},s_2^{*},\dots ,s_i,\dots ,s_n^{*})$ ahol $s_i$ a játékos $i$-edik alternatív stratégiája.

Példa: Fogolydilemma

Játék Mátrix

Két játékos ($A$ és $B$) a következő mátrix szerint dönti el a stratégiáját:

	$B$: Együttműködik	$B$: Megtagad
$A$: Együttműködik	$(-1,-1)$	$(-3,0)$
$A$: Megtagad	$(0,-3)$	$(-2,-2)$

Elemzés:

• Ha $A$ és $B$ is megtagadja, az $(-2,-2)$ egy Nash-egyensúly, mert egyikük sem javíthat a kifizetésén egyoldalú stratégiaváltással.

Nash-egyensúly Pythonban

Kétszereplős Mátrixjáték Nash-egyensúlya

Használjuk a nashpy könyvtárat, amely hatékony eszközt biztosít kétszereplős mátrixjátékok Nash-egyensúlyának számításához.

Telepítés

pip install nashpy

Implementáció

import nashpy as nash
import numpy as np

# Játék mátrixok
A = np.array([[-1, -3], [0, -2]])  # Játékos A kifizetési mátrixa
B = np.array([[-1, 0], [-3, -2]])  # Játékos B kifizetési mátrixa

# Játék definiálása
game = nash.Game(A, B)

# Nash-egyensúlyok keresése
equilibria = game.support_enumeration()

print("Nash-egyensúlyok:")
for eq in equilibria:
    print(eq)

Kimenet

Nash-egyensúlyok:
(array([0., 1.]), array([0., 1.]))

Ez azt jelenti, hogy mindkét játékos 0%-ban együttműködik és 100%-ban megtagadja, ami megfelel az $(-2,-2)$ Nash-egyensúlynak.

Általános Nash-egyensúly

Független Stratégiák (Tiszta Stratégiák)

Egy stratégia tiszta, ha a játékos mindig egy adott stratégiát választ (pl. 100%-ban együttműködik).

Vegyes Stratégiák

Vegyes stratégiában a játékos valószínűségi eloszlás szerint választ a stratégiák között. Például:

• $A$: $p$-val együttműködik és $1-p$-val megtagad.

Python Implementáció Vegyes Stratégiákhoz

# Példa: 3x3 mátrixjáték
A = np.array([[3, 1, 0], [0, 2, 1], [1, 0, 2]])
B = np.array([[3, 0, 1], [1, 2, 0], [0, 1, 2]])

game = nash.Game(A, B)

# Nash-egyensúly keresése
equilibria = game.support_enumeration()

print("Nash-egyensúlyok:")
for eq in equilibria:
    print(eq)

Kimenet

A kimenet tartalmazza a vegyes stratégiákat, például:

(array([0.5, 0.5, 0. ]), array([0.5, 0. , 0.5]))

Ez azt jelenti, hogy az $A$ játékos $50\mathrm{\%}$-ban az első és második stratégiát, míg $B$ $50\mathrm{\%}$-ban az első és harmadik stratégiát választja.

Jelentőség és Alkalmazások

1. Gazdaság: Piaci stratégiák optimalizálása.
2. Politika: Konfliktuskezelési stratégiák modellezése.
3. Hálózati forgalom: Adatátvitel optimalizálása.
4. Gépi tanulás: Adversariális modellek, például Generative Adversarial Networks (GANs).

Összegzés

A Nash-egyensúly fontos koncepció az optimalizációban és a stratégiai döntéshozatalban. Pythonban a nashpy könyvtár segítségével könnyedén számíthatunk Nash-egyensúlyokat mátrixjátékokra, legyenek azok tiszta vagy vegyes stratégiájú egyensúlyok. Az alkalmazási lehetőségek széleskörűek, a játékelmélettől a mesterséges intelligenciáig.

Sablon:-ford-

• Sablon:En: Sablon:T
• Sablon:Cs: Sablon:T