Nagy számok gyenge törvénye

1. Sablon:Humatek A nagy számok gyenge törvénye (más néven Bernoulli-féle gyenge törvény) egy alapvető statisztikai tétel a valószínűségszámításban, amely kimondja, hogy ha egy független, azonos eloszlású véletlen változók sorozatát vizsgáljuk, akkor ezek átlagértéke egyre inkább közelít a várható értékükhöz, ahogy a minta mérete növekszik.

Tétel (nagy számok gyenge törvénye)

Legyenek $X_1,X_2,\dots ,X_n$ független, azonos eloszlású véletlen változók, ahol mindegyikük várható értéke $\mu =E(X_i)$ és szórásuk $\sigma$ véges. Ekkor igaz, hogy a mintaátlag ${\overline{X}}_n=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$ a várható értékhez $\mu$ tart nagy $n$-re:

$$P(|{\overline{X}}_n-\mu |\ge \epsilon )\to 0\text{ahogy}n\to \mathrm{\infty },$$

ahol $\epsilon >0$ egy tetszőleges kicsi pozitív szám. Ez azt jelenti, hogy a mintaátlag a valószínűség szerint egyre közelebb kerül a várható értékhez, ha elegendően sok mintát veszünk.

Magyarázat

- A törvény azt mondja ki, hogy egy nagyszámú mintán alapuló mintaátlag "koncentrálódik" a várható érték körül. - A nagy számok gyenge törvénye nem adja meg, hogy a mintaátlag milyen gyorsan közelít a várható értékhez, csak azt, hogy nagy mintaszám esetén ez biztosan bekövetkezik. - A törvény egy fontos következménye az, hogy a véletlenszerű ingadozások hosszú távon kiátlagolódnak, és a mintaátlag stabilizálódik a várható értéknél.

Példa

Tegyük fel, hogy egy pénzérmét dobunk sokszor, ahol minden dobás független és az írás (vagy fej) valószínűsége 0.5. Legyen $X_i$ az $i$-edik dobás eredménye (1, ha fej, 0, ha írás), így az egyes dobások várható értéke $E(X_i)=0.5$. A nagy számok gyenge törvénye azt állítja, hogy ha elég sokszor dobjuk a pénzérmét, akkor a fej dobások aránya (az $X_i$-k átlaga) egyre közelebb kerül 0.5-hez.

Kapcsolat a nagy számok erős törvényével

- Gyenge törvény: A mintaátlag közelít a várható értékhez a valószínűség szerint.

- Erős törvény: A mintaátlag közelít a várható értékhez szinte biztosan, vagyis az eltérés a mintaátlag és a várható érték között $n\to \mathrm{\infty }$-re szinte biztosan 0 lesz.

Sablon:Hunl