Nagy ordó jelölés

1. Sablon:Label

A nagy $O$-jelölés (Big-O notation) egy matematikai jelölés, amely az algoritmusok aszimptotikus idő- vagy tárhely-igényét írja le, különös tekintettel a legrosszabb esetekre. A nagy $O$-jelölés nem a pontos időtartamot vagy tárhelyet adja meg, hanem az algoritmus skálázhatóságát mutatja meg a bemeneti adatok méretének növekedésével.

—

Definíció

Egy algoritmus $f(n)$ futási ideje vagy tárhelyhasználata nagy $O$-jelöléssel $O(g(n))$, ha létezik egy $c>0$ és egy $n_0$ pozitív egész szám, amelyre: $$f(n)\le c\cdot g(n)\text{ha}n\ge n_0$$ Ez azt jelenti, hogy $g(n)$ felső korlátot ad $f(n)$-re az $n$ bemeneti méret növekedésével.

—

Fontos tulajdonságok

1. A domináns tényező számít: Csak a leggyorsabban növekvő tagot vesszük figyelembe, mert az dominálja az algoritmus viselkedését nagy bemeneti méretek esetén. Példa: $f(n)=3n^2+5n+10$ esetén $O(n^2)$, mert az $n^2$ dominálja az $n$-t és a konstansokat.

2. Konstans szorzók elhagyhatók: Az algoritmus skálázhatósága nem változik a konstans tényezőkkel. Példa: Ha $f(n)=2n$, akkor $O(2n)=O(n)$.

3. Különböző bemeneti méretek: A bemeneti méret, $n$, lehet például egy lista hossza, egy gráf csúcsainak száma, vagy más paraméter, amely az algoritmus futási idejét meghatározza.

—

Nagy $O$ komplexitási kategóriák

1. $O(1)$ – Konstans idő Az algoritmus futási ideje független a bemeneti mérettől. - Példa: Egy lista első elemének elérése.

2. $O(\log n)$ – Logaritmikus idő Az algoritmus futási ideje logaritmikusan nő a bemeneti mérettel. - Példa: Bináris keresés.

3. $O(n)$ – Lineáris idő Az algoritmus futási ideje arányos a bemeneti mérettel. - Példa: Egy lista összes elemének bejárása.

4. $O(n\log n)$ – Lineáris-logaritmikus idő Hatékonyabb algoritmusok időkomplexitása, például rendezési algoritmusok. - Példa: MergeSort, QuickSort (átlagos eset).

5. $O(n^2)$ – Kvadratikus idő Az algoritmus futási ideje a bemeneti méret négyzetével nő. - Példa: Két lista összes párosításának vizsgálata.

6. $O(n^k)$ – Polinomiális idő Az algoritmus futási ideje a bemeneti méret $k$-adik hatványával nő. - Példa: Mátrixszorzás ($O(n^3)$).

7. $O(2^n)$ – Exponenciális idő Az algoritmus futási ideje exponenciálisan nő a bemeneti mérettel. - Példa: Backtracking algoritmusok (pl. a teljes kombinációk generálása).

8. $O(n!)$ – Faktoriális idő A futási idő a bemeneti méret faktoriálisával nő. - Példa: Az összes permutáció generálása.

—

Gyakorlati példák

1. Példa 1: Lineáris keresés Egy lista minden elemét végignézzük. Futási idő: $O(n)$.
2. Példa 2: Bináris keresés Egy rendezett listán keresünk egy elemet, és minden lépésben megfelezzük a keresési tartományt. Futási idő: $O(\log n)$.
3. Példa 3: Rendezési algoritmusok - Bubble Sort: $O(n^2)$. - MergeSort: $O(n\log n)$. - QuickSort (legrosszabb eset): $O(n^2)$, de átlagosan $O(n\log n)$.

—

Összehasonlítás és rangsor Az alábbiakban bemutatjuk a komplexitások növekedési sorrendjét $n$ függvényében:

$$O(1)<O(\log n)<O(n)<O(n\log n)<O(n^2)<O(2^n)<O(n!)$$

—

Nagy $O$-jelölés az algoritmus tervezésben

1. Optimalizáció célja: Az algoritmus tervezésekor a legkisebb idő- és tárhelykomplexitást keressük. 2. Aszimptotikus elemzés: Segít előre jelezni az algoritmus viselkedését nagy bemeneti méreteknél. 3. Pontosítás nélkül: A nagy $O$ csak az aszimptotikus felső korlátot adja meg, nem az algoritmus konkrét futási idejét.

A nagy $O$-jelölés megértése és alkalmazása alapvető fontosságú az algoritmusok hatékonyságának elemzéséhez és összehasonlításához. Sablon:-ford- Sablon:Trans-top

• Sablon:En: Sablon:T+