N-edik egységgyök

1. Sablon:Humatek Az 1 komplex szám $n$-edik gyökét n-edik egységgyöknek nevezzük. Az n-edik egységgyök alakja ${\epsilon }_k:=\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n},k=0,1,\dots ,n-1$ A komplex n-edik egységgyökök teljesítik tehát az ${\epsilon }_k^n=1$ azonosságot minden $k=0,1,\dots ,n-1$-re. Másrészt ${\epsilon }_k={\epsilon }_1^k,k=0,1,\dots ,n-1$ Azaz, az n-edik egységgyökök halmaza $\{{\epsilon }_0,{\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots ,{\epsilon }_{n-1}\}=\{1,{\epsilon }_1,{\epsilon }_1^2,\dots ,{\epsilon }_1^{n-1}\}$

Az n-edik komplex egységgyökök halmaza zárt a szorzás műveletére vonatkozóan, azaz két n-edik egységgyök szorzata n-edik egységgyök. Minden $1\le k,\ell \le n-1$-re

${\epsilon }_k{\epsilon }_{\ell }=\{\begin{array}{cc}{\epsilon }_{k+\ell },& \text{ ha }k+\ell <n\\ {\epsilon }_{k+\ell -n},& \text{ ha }k+\ell \ge n\end{array}$

Egy $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$ komplex szám összes n-edik gyökét felírhatjuk az

$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}(\cos (\frac{\phi }{n}+\frac{2k\pi }{n})+i\sin (\frac{\phi }{n}+\frac{2k\pi }{n}))=$ $\sqrt[n]{r}(\cos \frac{\phi }{n}+i\sin \frac{\phi }{n})(\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n})$ alakban, ahol $k=0,1,\dots ,n-1.$

Azaz, ha $w_0:=\sqrt[n]{r}(\cos \frac{\phi }{n}+i\sin \frac{\phi }{n})$ jelöli az első n-edik gyökét z-nek, akkor $w_0,w_0{\epsilon }_1,w_0{\epsilon }_1^2,\dots ,w_0{\epsilon }_1^{n-1}$ adja az összes kölönböző $n$-edik gyökét $z$-nek.

Azt is könnyű ellenőrizni, hogy ha $w$ egy tetszőleges rögzített $n$-edik gyöke $z$-nek, akkor $w,w{\epsilon }_1,w{\epsilon }_1^2,\dots ,w{\epsilon }_1^{n-1}$ adja az összes kölönböző $n$-edik gyökét $z$-nek. Ehhez csak azt kell észrevenni, hogy az ${\epsilon }_1$ -gyel való szorzás $\frac{2\pi }{n}$ szöggel való elforgatást jelent.

• Sablon:En: Sablon:T