Gyökvonás komplex számból

1. Sablon:Humatek Minden nem nulla komplex számnak pontosan n darab n -edik gyöke van a komplex számok között, és ezek egy origó középpontú szabályos sokszög csúcsaiban helyezkednek el. A z szám n-edik gyökei azért alkotnak szabályos n-szöget, mert ez $w_0$-lal szorzással, azaz forgatva nyújtással kapható az egységgyökök által alkotott sokszögből. Legyen $z=r(\cos \phi +i\sin \phi ),n\in \mathbb{N}.$

Ekkor $\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}(\cos \frac{\phi +2k\pi }{n}+i\sin \frac{\phi +2k\pi }{n}),k=0,1,\dots ,n-1$

Egy $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$ komplex szám összes n-edik gyökét felírhatjuk az

$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}(\cos (\frac{\phi }{n}+\frac{2k\pi }{n})+i\sin (\frac{\phi }{n}+\frac{2k\pi }{n}))=$ $\sqrt[n]{r}(\cos \frac{\phi }{n}+i\sin \frac{\phi }{n})(\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n})$ alakban, ahol $k=0,1,\dots ,n-1.$

Azaz, ha $w_0:=\sqrt[n]{r}(\cos \frac{\phi }{n}+i\sin \frac{\phi }{n})$ jelöli az első n-edik gyökét z-nek, akkor $w_0,w_0{\epsilon }_1,w_0{\epsilon }_1^2,\dots ,w_0{\epsilon }_1^{n-1}$ adja az összes kölönböző $n$-edik gyökét $z$-nek.

---

Számítsuk ki $\sqrt[4]{-8}$ összes lehetséges értékét! Korábban láttuk, hogy $-8=8(\cos \pi +i\sin \pi ).$ Ezért a lehetséges gyökök:

$\sqrt[4]{8}(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4})=\sqrt[4]{8}(\frac{1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt{2}})=\sqrt[4]{2}+\sqrt[4]{2}i$

$\sqrt[4]{8}(\cos (\frac{\pi }{4}+\frac{2\pi }{4})+i\sin (\frac{\pi }{4}+\frac{2\pi }{4}))=\sqrt[4]{8}(\cos \frac{3\pi }{4}+i\sin \frac{3\pi }{4})=-\sqrt[4]{2}+\sqrt[4]{2}i$

$\sqrt[4]{8}(\cos (\frac{\pi }{4}+\frac{4\pi }{4})+i\sin (\frac{\pi }{4}+\frac{4\pi }{4}))=\sqrt[4]{8}(\cos \frac{5\pi }{4}+i\sin \frac{5\pi }{4})=-\sqrt[4]{2}-\sqrt[4]{2}i$

$\sqrt[4]{8}(\cos (\frac{\pi }{4}+\frac{6\pi }{4})+i\sin (\frac{\pi }{4}+\frac{6\pi }{4}))=\sqrt[4]{8}(\cos \frac{7\pi }{4}+i\sin \frac{7\pi }{4})=\sqrt[4]{2}-\sqrt[4]{2}i$

• Sablon:En: Sablon:T