Momentumok

1. Sablon:Label A statisztikában és a valószínűségszámításban a momentumok olyan statisztikai mutatók, amelyek az eloszlás különböző jellemzőit írják le, például az átlagot, a szórást, a ferdeséget és a csúcsosságot. A momentumok segítenek megérteni az adatok eloszlását, formáját és más tulajdonságait.

1. Általános definíció

Egy valószínűségi változó $X$ $k$-adik momentumát a következőképpen definiáljuk:

$$E(X^k)$$

ahol $E$ a várható érték, és $k$ az adott momentum rendje.

A momentumok két fő típusa a nyers (vagy egyszerű) momentumok és a centrális momentumok.

2. Nyers momentumok

A nyers momentumokat az origóhoz képest számítják, és az eloszlás alapvető jellemzőit adják meg:

- Első nyers momentum ($E(X)$): Ez a várható érték, ami az adatok középértékét vagy átlagát jelenti.

- Második nyers momentum ($E(X^2)$): Segítségével kiszámítható a szórásnégyzet, amely az eloszlás szóródásáról ad információt.

3. Centrális momentumok

A centrális momentumokat az adatok várható értékéhez képest számítják, és az eloszlás formájának jellemzésére szolgálnak:

- Első centrális momentum: Mindig nulla, mivel a várható értéktől való eltérés átlaga nulla.

- Második centrális momentum ($E((X-E(X){)}^2)$): Ez a variancia, amely a szóródást méri, és a szórás négyzeteként is ismert.

- Harmadik centrális momentum ($E((X-E(X){)}^3)$): Ez a ferdeség (skewness), amely megmutatja, hogy az eloszlás milyen irányban tér el az átlag körül: pozitív ferdeség esetén az eloszlás jobbra nyúlik, negatív ferdeség esetén balra.

- Negyedik centrális momentum ($E((X-E(X){)}^4)$): Ez a csúcsosság (kurtosis), amely az eloszlás csúcsának magasságát méri a normál eloszláshoz képest. Ha nagyobb a csúcsosság, az eloszlás hegyesebb.

4. Példa: A normál eloszlás momentumai

A normál eloszlás várható értéke $\mu$, és szórása $\sigma$. Az eloszlás különböző momentumai a következők:

- Első momentum: $E(X)=\mu$ - Második centrális momentum: ${\sigma }^2$, ami a variancia. - Harmadik centrális momentum: 0, mivel a normál eloszlás szimmetrikus, így nincs ferdesége. - Negyedik centrális momentum: 3, ami a normál eloszlás csúcsossága (a standard normál eloszlás esetében).

Összefoglalás

A momentumok fontos szerepet játszanak az eloszlások jellemzésében, és segítenek az adatok középértékének, szóródásának, ferdeségének és csúcsosságának leírásában. Az első és második momentumok gyakran használtak, de a harmadik és negyedik momentumok is hasznosak az eloszlás részletesebb elemzéséhez. Sablon:Hunl