Minkowski-dimenzió

1. Sablon:Humatek

A Minkowski-dimenzió vagy Minkowski–Bouligand-dimenzió (ismert dobozdimenzió és kapacitásdimenzió néven is), egy eljárás halmazok, főleg fraktális halmazok dimenziójának kiszámítására. Általában bármilyen (X,d) metrikus térben lévő S halmaz dimenzióját ki lehet vele számolni, de legtöbbször Rⁿ-beli halmazokra szorítkozunk. Mint a neve is mutatja, egyszerű leszámlálással határozhatjuk meg a halmaz dimenzióját, a halmazt egyenlő méretű „kockákkal” lefedjük, és vizsgáljuk, hogyan változik a szükséges kockák mennyisége az élhossz függvényében. Ha ez a függvény konvergens, akkor a határértéke lesz a halmaz dimenziója.
Definíció: Legyen $S\in {𝐑}^n$ halmaz és $r\in 𝐑$. Fedjük le S-t r élhosszúságú diszjunkt kockákkal, azaz keressük azt a legkisebb F halmazt, ami előáll r élhosszúságú diszjunkt kockák uniójaként és $S\in F$. Legyen e kockák száma N_r. Ha az élhosszt változtatjuk, akkor természetesen N_r is változik, azaz értelmezhető az N_r(S) sorozat. Ha ez a sorozat konvergens, akkor S Minkowski-dimenziója

$\dim (S)=\underset{r\to 0}{\lim }\frac{\log N_r(S)}{\log \frac{1}{r}}$

• Sablon:En: Sablon:T, Sablon:T